高考数学讲义9.5椭圆第2课时.pdf

第 2 课时直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系1若直线 ykx1 与椭圆x25y2m1 总有公共点，则m 的取值范围是 () Am1 Bm0 C0m5 且 m1 Dm 1且 m5 答案D 解析方法一由于直线y kx1 恒过点 (0,1)，所以点 (0,1) 必在椭圆内或椭圆上，则 00 且 m5，m1 且 m 5. 2已知直线l：y2xm，椭圆 C：x24y22 1.试问当 m 取何值时，直线l 与椭圆 C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线 l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组y2xm，x24y221，将代入 ，整理得9x28mx2m240.方程 根的判别式 (8m)249(2m24) 8m2144. (1)当 0，即 3 2m32时，方程 有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点(2)当 0，即 m 3 2时，方程 有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点(3)当 0，即 m32时，方程 没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点题型二弦长及弦中点问题命题点 1弦长问题典例斜率为 1的直线 l 与椭圆x24y21 相交于 A，B 两点，则 |AB|的最大值为 () A2 B.4 55C.4 105D.8 105答案C 解析设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为yxt，由x24y2 4，yxt，消去 y，得 5x2 8tx4(t21)0，则 x1 x285t，x1x24 t215. |AB|1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x2285t244 t215425 5t2，当 t0 时， |AB|max4105. 命题点 2弦中点问题典例已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1， 1)，则 E 的方程为 () A.x245y2361 B.x236y2271 C.x227y2181 D.x218y291 答案D 解析设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，所以x21a2y21b2 1，x22a2y22b2 1运用点差法，所以直线AB 的斜率为 kb2a2，设直线方程为yb2a2(x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2 b2)x26b2x9b2a40，所以 x1x26b2a2b22，又因为 a2b29，解得 b29，a218. 命题点 3椭圆与向量等知识的综合典例(2017 沈阳质检 )已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)，e12，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，线段 AB 的中点横坐标为14，且 AF FB(其中 1)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求实数 的值解(1)由椭圆的焦距为2，知 c1，又 e12，a2，故 b2 a2c23，椭圆 C 的标准方程为x24y231. (2)由 AF FB，可知 A， B，F 三点共线，设点A(x1，y1)，点 B(x2，y2)若直线 ABx 轴，则 x1x21，不符合题意；当 AB 所在直线l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为y k(x1)由yk x1 ，x24y231，消去 y 得(34k2)x28k2x4k2120.的判别式 64k44(4k23)(4k2 12) 144(k21)0. x1 x28k24k23，x1x24k2124k23，x1x28k24k23 21412，k214. 将 k214代入方程 ，得 4x22x110，解得 x1 354. 又AF(1x1， y1)，FB(x21，y2)， AF FB，即 1x1 (x21)， 1 x1x21，又 1， 352. 思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法 ”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1， y1)，B(x2，y2)，则 |AB|1k2 x1x224x1x2 11k2 y1y224y1y2(k 为直线斜率 )(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式跟踪训练(2018 长春调研 )已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e55，直线 l 交椭圆于M，N 两点(1)若直线 l 的方程为yx4，求弦 MN 的长；(2)如果 BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l 方程的一般式解(1)由已知得b4，且ca55，即c2a215，a2b2a215，解得 a220，椭圆方程为x220y216 1. 将 4x25y280 与 yx4 联立，消去 y得 9x240 x0，x10，x2409，所求弦长 |MN|112|x2x1|40 29. (2)椭圆右焦点F 的坐标为 (2,0)，设线段 MN 的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知BF 2FQ，又 B(0,4)， (2， 4)2(x02，y0)，即22 x02 ，42y0，故得 x03，y0 2，即 Q 的坐标为 (3， 2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1 x2 6，y1y2 4，且x2120y21161，x2220y22161，以上两式相减得x1x2x1x220y1y2y1y2160，kMNy1y2x1x245x1x2y1y2456465，故直线 MN 的方程为y265(x 3)，即 6x5y280. 高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c 的关系式 (等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用 a，c 表示， 转化为关于离心率e 的关系式， 这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法典例 1已知椭圆E：x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若 |AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是() A.0，32B. 0，34C.32，1D.34，1解析设左焦点为F0，连接 F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2. 设 M(0， b)，则 M 到直线 l 的距离 d4b545，1b 2. 离心率 ecac2a2a2b2a24b240，32，故选 A. 答案A 典例 2(12 分)(2016 浙江 )如图，设椭圆方程为x2a2y21(a1)(1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a， k 表示 )；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围规范解答解(1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为AM，由ykx 1，x2a2y21，得(1a2k2)x2 2a2kx0，2 分故 x1 0，x22a2k1a2k2，因此 |AM|1 k2|x1x2| 2a2|k|1a2k2 1k2.4 分 (2)假设圆与椭圆的公共点有4 个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足 |AP|AQ|. 记直线 AP，AQ 的斜率分别为k1，k2，且 k10，k20，k1 k2.5 分由(1)知|AP|2a2|k1|1k211a2k21，|AQ|2a2|k2|1k221a2k22，故2a2|k1|1k211a2k212a2|k2|1k221a2k22，所以 (k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220.7 分由 k1 k2， k10，k20 得 1k21k22a2(2a2)k21k220，因此1k2111k221 1a2(a22)，因为 式关于 k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22) 1，所以 a2. 因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点的充要条件为1a2，10 分由 ecaa21a211a2，得 02，即m2n2b0)， 则 c1.因为过 F2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 A，B 两点，且 |AB|3，所以b2a32，b2a2c2，所以 a2 4，b2a2c2413，椭圆的方程为x24y231. 5从椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点 P向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB OP(O 是坐标原点 )，则该椭圆的离心率是() A.24B.12C.22D.32答案C 解析由题意可设P(c，y0)(c 为半焦距 )，kOPy0c，kABba，由于 OP AB，y0cba，y0bca，把 P c，bca代入椭圆方程得 c2a2bca2b21，ca212，eca22.故选 C. 6已知椭圆E的左、 右焦点分别为F1，F2，过 F1且斜率为2 的直线交椭圆E 于 P，Q 两点，若 PF1F2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为 () A.53B.23C.23D.13答案A 解析由题意可知， F1PF2是直角，且tanPF1F22，|PF2|PF1|2，又 |PF1|PF2|2a，|PF1|2a3，|PF2|4a3. 根据勾股定理得2a324a32(2c)2，所以离心率eca53. 7设 F1，F2分别是椭圆x24y21 的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OPOF2) PF20(O 为坐标原点 )，则 F1PF2的面积是 () A4 B 3 C2 D1 答案D 解析 (OPOF2) PF2(OPF1O) PF2F1P PF20，PF1PF2，F1PF290 . 设|PF1| m， |PF2|n，则 mn4，m2n212,2mn4， mn2，12FPFS12mn1. 8已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F，椭圆 C 与过原点的直线相交于A，B 两点，连接 AF，BF，若 |AB|10，|AF|6，cos ABF45，则椭圆C 的离心率e_. 答案57解析设椭圆的右焦点为F1，在ABF 中，由余弦定理可解得|BF|8，所以 ABF 为直角三角形，且 AFB90 ，又因为斜边AB 的中点为 O，所以 |OF|c 5，连接 AF1，因为 A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，所以 2a14， a7，所以离心率e57. 9P 为椭圆x29y281 上的任意一点，AB 为圆 C：(x1)2y21 的任一条直径，则PA PB的取值范围是 _答案3,15 解析圆心 C(1,0)为椭圆的右焦点，PA PB(PCCA) (PCCB) (PCCA) (PCCA) PC2CA2|PC|21，显然 |PC|a c，ac2,4，所以 PA PB |PC|213,1510已知 F1，F2是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过F1的直线 l 与椭圆交于A，B两点若 |AB| |BF2|AF2|345，则椭圆 C 的离心率为 _答案5311.如图， 椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F，右顶点、 上顶点分别为A，B，且 |AB|52|BF|. (1)求椭圆 C 的离心率；(2)若斜率为2 的直线 l 过点 (0,2)，且 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点， OPOQ，求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程解(1)由已知 |AB|52|BF|，即a2b252a，4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，3a24c2，e。