2018届湖南省十四校高三第一次联考文科数学.pdf

第页1 2018 届湖南省十四校高三第一次联考文科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合1,2,3A，2,4B，则ABI（）A2B4C 1,2D1,2,3,42. 已知的始边与x轴非负半轴重合，终边上存在点( 1, )Pa且2sin2，则a（）A1B1C 2D23. 复数z满足23i zi，则|z（）A13B11C 7D54. 若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中直角三角形的个数是（）A1 B 2 C 3 D 4 5. 在区间2,3上随机取一个数x，则满足|1|1x的概率是（）A15B25C 35D456. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5 尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1 尺，重 4 斤；在最细的一端截下1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其总重量为W，则W的值为（）A4 B 12 C 15 D 18 第页2 7. 已知双曲线方程为2212015xy，则该双曲线的渐近线方程为（）A34yxB43yxC 32yxD2 33yx8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A1011B511C 89D499. 已知定义在R上的奇函数( )f x满足当0 x时，( )224xf xx，则( )f x的零点个数是（）A2 B 3 C 4 D 5 10. 如图，已知边长为2 的正方体1111ABCDA B C D， 点E为线段1CD的中点， 则直线AE与平面11A BCD所成角的正切值为（）A22B12C 32D211. 已知函数( )2sincos(0)fxxx， 若( )f x的两个零点1x，2x满足12min|2xx， 则(1)f的值为（）第页3 A102B102C 2D212. 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，其导函数为( )fx，若对任意的正实数x，都有( )2( )0 xfxf x恒成立，且(2)1f，则使2( )2x f x成立的实数x的集合为（）A(,2)(2,)UB (2,2)C(,2)D ( 2,)第卷（共 90 分）二、填空题（每题5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知矩形ABCD的边2AB，1AD，则BD CDuuu r uuu r14. 若实数x，y满足约束条件2,6,0,xxyxy则目标函数23zxy的最大值是15. 在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，sincos(cos) sin0ABcAB，则边b16. 已知在三棱锥PABC中，90BAC，2ABAC，BC的中点为M且2PM，当该三棱锥体积最大时，它的内切球半径为三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 已知等比数列na满足12a且235aaa（1）求na的通项公式；（2）设nnban，求nb的前n项和nS18. 已知某班的50 名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用的时间长，如表：时间长（小时）0,5)5,10)10,15)15,20)20,25女生人数4 11 3 2 0 男生人数3 17 6 3 1 （1）求这 50 名学生本周使用的平均时间长；（2）时间长为0,5)的 7 名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；（3）若时间长为0,10)被认定“不依赖” ，10,25被认定“依赖” ，根据以上数据完成22列第页4 联表：不依赖依赖总计女生男生总计能否在犯错概率不超过0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖有关系？20()P Kk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：22()()()()()n adbcKabcdac bd，nabcd）19. 在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，24CDAB，60ADC，PAD是一个边长为2 的等边三角形，且平面PAD平面ABCD，M为PC的中点（1）求证：/ /BM平面PAD；（2）求点M到平面PAD的距离20. 在平面直角坐标系中，动点( , )M x y（0 x）到点(1,0)F的距离与到y轴的距离之差为1（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若( 4,2)Q，过点(4,0)N作任意一条直线交曲线C于A，B两点，试证明QAQBkk是一个定值21. 已知函数3211( )332fxaxxx（a为实数）（1）当( )f x与3y切于00(,()A xf x，求a，0 x的值；（2）设( )( )xF xfxe，如果( )1F x在(0,)上恒成立，求a的范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：4sin，在平第页5 面直角坐标系xOy中，直线l的方程为21,222xtyt（t为参数）（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）已知直线l交曲线C于A，B两点，求A，B两点的距离23. 选修 4-5 ：不等式选讲已知函数( )|2 |1|f xxx（1）求证：( )3fx；（2）求不等式2( )f xx的解集2018 届高三g十四校联考第一次考试数学（文科）试卷答案一、选择题1-5:ABADB 6-10:CCBBA 11、12：CC二、填空题13.4 14.2 15.1 16.2 26三、解答题17. 解： （1）因为12a且235aaa，所以2q，从而2nna（2）由（ 1）得2nnnbann，第页6 23(2222 )(123)nnSn2(12 )(1)(1)2(21)1222nnn nn n18. 解： （1）1(2.577.52812.5917.5522.5 1)950，所以，这50 名学生本周使用的平均时间长为9 小时（2）时间长为0,5)的有 7 人，记为A、B、C、D、E、F、G，其中女生记为A、B、C、D，从这 7 名学生中随机抽取两名的基本事件有：,A B，,A C，,A D，,A E，,A F，,A G，,B C，,B D，,B E，,B F，,B G，,C D，,C E，,C F，,C G，,D E，,D F，,D G，,E F，,E G，,F G共 21 个设事件M表示恰有一位女生符合要求的事件有：,A E，,A F，,A G，,B E，,B F，,B G，,C E，,C F，,C G，,D E，,D F，,D G共 12 个所以恰有一个女生的概率为24()217P M（3）不依赖依赖总计女生15 5 20 男生20 10 30 总计35 15 50 2250(15 10520)0.3972.07215352030K，不能在犯错概率不超过0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖有关系19. （ 1）证明：过M作/ /MNCD，交PD于点N，连接AN，可知1/ /2MNCD，而1/ /2ABCD，所以/ /MNAB，从而四边形ABMN为平行四边形，所以/ /ANBM，又AN平面PAD，BM平面PAD，所以/ /BM平面PAD（2）由（ 1）可知M到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离，设B到平面PAD的距离为h，第页7 由BPADPABDVV，11333PADABDShS，解得3h，故M到平面PAD的距离为320. 解： （1）M到定点(1,0)F的距离与到定直线1x的距离相等，M的轨迹C是一个开口向右的抛物线，且2p，M的轨迹方程为24yx（2）设过(4,0)N的直线的方程为4xmy，联立方程组24 ,4,yxxmy整理得24160ymy，设直线l与抛物线的交点为11(,)A x y，22(,)B xy，则有124yym，1216y y，又212122121222228321448816642QAQByyyymkkxxmymym，因此QAQBkk是一个定值为1221. 解： （1）2( )1fxaxx，由( )f x与3y切于点00(,()A xf x，则320000200011()33,32()10,f xaxxxfxaxx解得316a，04x（2）2( )(1)xF xaxxe，2( )(21) )xFxeaxax，且(0)1F当0a时，( )xFxx e，可知( )F x在(0,)递增，此时( )1F x成立；当102a时，21( )()xaFxeax xa，可知( )F x在21(0,)aa递增， 在21(,)aa递减，此时11()1aFea，不符合条件；第页8 当12a时，21( )()02xFxex恒成立，可知( )F x在(0,)递减，此时( )1F x成立，不符合条件；当12a时，21( )()xaFxeax xa，可知( )F x在(0,)递减，此时( )1F x成立，不符合条件；当0a时，21( )()xaFxeax xa，可知( )F x在(0,)递增，此时( )1F x成立综上所述，0a22. 解： （1）由题知，曲线C化为普通方程为22(2)4xy，直线l的直角坐标方程为10 xy（2）由题知，直线l的参数方程为21,222xtyt（t为参数），代入曲线C：22(2)4xy中，化简，得23 210tt，设A，B两点所对应的参数分别为1t，2t，则12123 2,1,tttt所以21|14tt，即A，B的距离为1423. 解： （1）证明：( )|2 |1| |(2)(1)| 3f xxxxx（2）21,2,( )3, 21,21,1,xxf xxxx所以22,21,xxx或221,3,xx或21,21,xxx解得312x，故解集为|312xx。