全国初中数学竞赛试题及答案（2003年）[共5页].doc

中国数学教育网 info@2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题一、选择题（每小题7分，共42分）1、2＝＿＿A　5－4 B4－1　C5　D12、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是＿＿个A0　B1　C3　D53、若函数y＝kx(k＞0)与函数y＝x－1的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为＿＿A1　B2　Ck Dk24、满足等式x＝2003的正整数对的个数是＿＿A1　B2　C3　D45、设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD∶AB＝1∶3若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为＿＿A B C D6、如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则ED的长为＿＿A3　B4　C D二、填空题（每小题7分，共28分）1、 抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若△ABC是直角三角形，则ac＝＿＿＿＿2、 设m是整数，且方程3x2＋mx－2=0的两根都大于－而小于，则m=_______。

3、 如图，AA1、BB1分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA1＝BB1＝AB，则∠BAC的度数为＿＿4、 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是＿＿三、（本题满分20分）在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF；过E，F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE＝∠PBF四、（本题满分20分）已知实数a、b、c、d互不相等，且a＋＝b＋＝c＋＝d+＝x，试求x的值五、已知：四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16①这样的四边形有几个？②求这样的四边形边长的平方和的最小值试题说明：这是2004年全国初中数学联赛试题(决赛)试题，今天把它录入进电脑，希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便还将陆续上传我自己录入电脑的前几年的联赛试题，请关注2003年全国初中数学联赛答案：第一试一、1、(D)；2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个。

3、(A)；设A()，则，故又因为△ABO与△CBO同底等高，因此，4、(B)；由已知等式可得而，所以，故又因为2003为质数，必有或5、(B)；如图3，连结BE，设，则故6、(D)；如图4，连结AC、CE由AE∥BC，知四边形ABCE是等腰梯形故AC＝BE＝5又因为Dc∥AB，DC与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4因为，故二、1、－1；设A由△ABC是直角三角形可知必异号则由射影定理知，即；故2、4；由题设可知，解得故3、12；设∠BAC的度数为因，故∠又，则∠＝∠CBD＝因为∠故，解得4、225；设()＝，且，，其中，与互质于是的最小公倍数为依题意有，即又，据式(2)可得根据式(1)，只能取，可求得故两个数中较大的数是第二试A卷一、解：设前后两个二位数分别为，有；即当△＝即，则时，方程有实数解由于必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故仅可取25；此时，或故所求四位数为2025或3025二、(1)如图，据题设可知，DM∥BN，DM＝BN，DN∥AM，DN＝AM故∠AMD＝∠BND因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点，所以，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM又已知DE＝DF，故△DEM≌△FDN(2)由上述三角形全等可知∠EMD＝∠FND，则∠AME＝∠BNF而△AME、△BNF均为等腰三角形，所以，∠PAE＝∠PBF三、解：由已知有 ①； ②； ③； ④由式①解出 ⑤式⑤代入式②得 ⑥将式⑥代入③得即 ⑦由式④得，代入式⑦得由已知，故若，则由式⑥可得，矛盾。

故有B卷一、同(A卷)第一题的解答二、如图，分别取AP、BP的中点M、N连结EM、DM、FN、DN由D是AB的中点，则DM∥BN，DM＝BN，DN∥AM，DN＝AM故∠AMD＝∠BND又因为M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点，所以，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM因为DE＝DF，则△DEM≌△FDN故∠EMD＝∠FND，从而，∠AME＝∠BNF而△AME、△BNF均为等腰三角形，故∠PAE＝∠PBF三、(1)如图，记AB＝a，CD＝b，AC＝，并设△ABC的边AB上的高为，△ADC的边DC上的高为则＝仅当时等号成立即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时等号成立由已知可得又由题设，可得于是，，且这时AC⊥AB，AC⊥CD因此，这样的四边形有如下4下：，它们都是以AC为高的梯形或平行四边形2)又由AB＝，CD＝，则因此，这样的四边形的边长的平方和为故当时，平方和最小，且为192(C)卷一、同(A卷)第三题的解答二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B卷)第二题三、同(B卷)第三题解答第 5 页 共 5 页。