积分因子的求法及简单应用.doc

积分因子的求法及简单应用1. 恰当微分方程的概念及判定1.1 恰当微分方程的概念我们可以将一阶方程写成微分形式或把x,y平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程 ⑴ 这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分.即则称方程⑴为恰当微分方程. 1.2 恰当微分方程的判定定理1 假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有.利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.2. 积分因子如果对于方程⑴在某矩形域内，此时方程⑴就称为非恰当微分方程对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.注 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.定理2 函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是3. 积分因子求法举例3.1 观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子如: ⑴ 有积分因子 ⑵ 有积分因子，，，，例1 找出微分方程的一个积分因子.解 将原方程各项重新组合可以写成由于是的积分因子，也是的积分因子，从而原方程有积分因子.观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出.3.2 公式法引理1 微分方程⑴存在形如：，，，，，的积分因子的充要条件有： ① 方程⑴存在仅与x有关的积分因子的充要条件： ，是仅与x有关的函数； ② 方程⑴存在仅与y有关的积分因子的充要条件： ，是仅与y有关的函数； ③ 方程⑴有形如的积分因子的充要条件： ，是仅与x+y有关的函数， ，是仅与x-y有关的函数； ④ 方程⑴有形如的积分因子的充要条件： ，是仅与xy有关的函数； ⑤ 方程⑴有形如的积分因子的充要条件： ，是仅与有关的函数， ，是仅与有关的函数； ⑥ 方程⑴有形如的积分因子的充要条件： ，是仅与有关的函数。

若方程⑴中的M(x,y)，N(x,y)以及，的关系满足以上6个充要条件之一时，则方程⑴的积分因子u(x,y)都可由一阶线性齐次微分方程求得（其中是的函数）.可以取，，，，，，由此可得.我们将上述引理归结为求积分因子的公式法.例2 求解微分方程的积分因子.解 由于，观察可得：是关于xy的函数故原方程有积分因子：.3.3 分组求积分因子法定理3 若u为方程⑴的一个积分因子，且，则也是方程⑴的积分因子，其中是v的任一连续可微函数.也可以说微分方程是第一部分的积分因子，即是第二部分的积分因子，即从，中选择满足的和，其中，是分别关于，的连续可微函数，这样是原方程的积分因子.例3 求解微分方程的积分因子.解 将原方程各项重新组合 是第一部分的积分因子是第二部分的积分因子即 ，分别是第一、二部分的积分因子需满足令，则 所以 ，得到故 原微分方程的积分因子为.。