2022初升高数学衔接讲义.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑2022初升高数学衔接讲义 第一讲 数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以举行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更繁杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的理由，还要补充“繁分式”等有关内容． 一、乘法公式 【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca 证明：?(a?b?c)2?[(a?b)?c]2?(a?b)2?2(a?b)c?c2 ?a2?2ab?b2?2ac?2bc?c2a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca ?等式成立 212x?)2 3122解：原式=[x?(?2x)?] 3【例1】计算：(x?111?(x2)2?(?2x)2?()2?2x2(?2)x?2x2??2??(?2x)333 8221?x4?22x3?x2?x?339 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方和公式) 证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：(a?b)(a?ab?b) 解：原式=[a?(?b)][a?a(?b)?(?b)]?a?(?b)?a?b 我们得到： 【公式3】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方差公式) 请同学查看立方和、立方差公式的识别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算： （1）(4?m)(16?4m?m) 222332233332222322223332233（2）(m?151111n)(m2?mn?n2) 225104第1页 共44页 （3）(a?2)(a?2)(a4?4a2?16) （4）(x2?2xy?y2)(x2?xy?y2)2 解：（1）原式=4?m?64?m （2）原式=(m)?(n)?3331531231313m?n 1258（3）原式=(a2?4)(a4?4a2?42)?(a2)3?43?a6?64 （4）原式=(x?y)2(x2?xy?y2)2?[(x?y)(x2?xy?y2)]2 ?(x3?y3)2?x6?2x3y3?y6 说明：（1）在举行代数式的乘法、除法运算时，要查看代数式的布局是否得志乘法公式 的布局． （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、?、20的平方数和1、2、3、 4、?、10的立方数，是分外有好处的． 烦琐．此题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请留神整体代换法．此题的解法，表达了“正难那么反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举． 【例5】已知a?b?c?0，求 1的值． 3x12解：?x?3x?1?0 ?x?0 ?x??3 x1211122原式=(x?)(x?1?2)?(x?)[(x?)?3]?3(3?3)?18 xxxx说明：此题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，那么计算较 2【例4】已知x?3x?1?0，求x?3111111a(?)?b(?)?c(?)的值． bccaab解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b ?原式=a? b?ca?ca?b?b??c? bcacab a(?a)b(?b)c(?c)a2?b2?c2????? ① bcacababc ?a3?b3?(a?b)[(a?b)2?3ab]??c(c2?3ab)??c3?3abc ?a3?b3?c3?3abc ②，把②代入①得原式=?3abc??3 abc说明：留神字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明： a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca) 333222二、根式 式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下： 第2页 共44页 (1) (a)2?a(a?0) (3) (2) a2?|a| bb?(a?0,b?0) aaab?a?b(a?0,b?0) (4) 【例6】化简以下各式： (1) (3?2)2?(3?1)2 (2) (1?x)2?(2?x)2 (x?1) 解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1 ?(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)(2) 原式=|x?1|?|x?2|?? (x?1)?(x?2)?1 (1?x?2) ?说明：请留神性质a2?|a|的使用：当化去十足值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类议论． 【例7】计算(没有特殊说明，本节中展现的字母均为正数)： (1) 32?3 (2) 11? ab(3) 2x?x3?8x 2解：(1) 原式=3(2?3)(2?3)(2?3)?3(2?3)2?32?6?33 a?ba2b?ab2?(2) 原式= abab(3) 原式=2 2x?x?x2?2?22x?2x?xx?22x?32x?xx 2?2说明：(1)二次根式的化简结果应得志：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有以下两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解 3因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被开方 2?3数有分母(如axxx)．这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为 “分母中有根式”22b2的处境．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式举行化简．(如32?3化为3(2?3)(2?3)(2?3)，其中2?3与2?3叫做互为有理化因式)． 【例8】计算： (1) (a?b?1)(1?a?b)?(a?b)2 第3页 共44页 (2) aa?ab?aa?ab 解：(1) 原式=(1?b)2?(a)2?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?1 (2) 原式=aa(a?b)(a??aa(a?b)?1a?b?1a?b ?b)2a ?(a?b)(a?b)a?bb)?(a?说明：有理数的的运算法那么都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算． 【例9】设x?2?32?3?,y?2?32?3，求x3?y3的值． 解：x?2?32?3(2?3)222?3?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1 原式=(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]?14(142?3)?2702 说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较繁杂时，可根据结论的布局特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 三、分式 当分式 AA的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用BBx 1?xx?1x?x以下两种方法：(1) 利用除法法那么；(2) 利用分式的根本性质． 【例10】化简 解法一：原式= x?x?1?xx2?1xx(x?1)x?1xxx ??2??2(1?x)?xxxx?x?xxx?x?x?1(x?1)(x?1)x?1解法一：原式= x(x?1)xxxx?1???2? (1?x)?xx(1?x)xxx?x?xx?x?x?21x?1x?1(x?)?xx说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二那么是利用分式的根本性质 AA?m举行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法． ?BB?mx2?3x?96xx?1??【例11】化简 x2?279x?x26?2x第4页 共44页 x2?3x?96xx?116x?1解：原式= ?????22(x?3)(x?3x?9)x(9?x)2(3?x)x?3(x?3)(x?3)2(x?3) 2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x?3)23?x ???2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3)说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法举行，当分子、分母为多项式时，应先因式分 解再举行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式． A 组 1．二次根式a2??a成立的条件是( A．a?0 B．a?0 ) C．a?0 ) C．－９ 2练 习 D．a是任意实数 2．若x?3，那么9?6x?x2?|x?6|的值是( A．－３ 3．计算： 2B．３ 2 2 D．９ (1) (x?3y?4z) 2 (2) (2a?1?b)?(a?b)(a?2b) (4) (a?4b)(a?4b?ab) (3) (a?b)(a?ab?b)?(a?b) 14224．化简(以下a的取值范围均使根式有意义)： (1) (3) ?8a3 4abab?ba (2) a??(4) 1 a13?2?23?1 12?5．化简： B 组 1．若 (1) mm1 9m?10m?2m2325m (2) 2x?2yx?y? (x?y?0) 2x2xy113x?xy?3y??2，那么的值为( )： xyx?xy?y3 5 B．? A． 3 5 C．?5 3 D． 5 32．计算： (1) (a?b?c)(a?b?c) (2) 1?(12?13) x2?xy?y2,y?3．设x?，求代数式的值． x?y3?23?211第5页 共44页 — 10 —。