高考专题平面向量与三角形的四心问题-精品之高中数学（文）黄金100题--- 精校解析Word版.doc

第 42题 平面向量与三角形的四心问题I．题源探究·黄金母题【例1】如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（ ）A．2 B．C． D．【答案】C【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，，所以，化简得，解得题目所给图像可知．由基本不等式得，即．当且仅当，即时，等号成立，故最小值为．精彩解读【试题来源】2018湖南岳阳一中高三上学期第一次月考．【母题评析】本题主要考查向量的几何运算及利用基本不等式求最值．考查考生的分析问题解决问题的能力，属于难题．【思路方法】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考浙江15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】解法一：设向量的夹角为，由余弦定理有：，，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是．解法二：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形，平行四边形．所以．易知当，B，C三点共线时，最小，此时；当时，最大，此时．【命题意图】本题主要考查．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】本题通过设的夹角，结合模长公式，解得，再利用三角有界性求出最大、最小值．III．理论基础·解题原理三角形的四心，指的是三角形的垂心、重心、内心、外心．（1）三角形的垂心是指三条高线的交点．垂心常用字母H来表示．（2）三角形的垂心是指三条中线的交点．重心常用字母G来表示．重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍．（3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点．内心常用字母I来表示．内心到三边的距离相等．（4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示．外心到三角形三个顶点的距离相等．公式1：如图，在中，点P为三角形内任意一点，则(其中)（1）PDBAC证明：设，则，．令，代入上式，取O为P，则得(1)．进而可证明：，记．代入公式（1）得：公式2：（2）．下面用公式2对三角形的四心统一公式进行推导：⑴当点P为外心时，（其中R为三角形外接圆半径），代入（2）式得：；⑵当点P为内心时，（其中为三角形内切圆半径），代入（2）式得：（其中R为三角形外接圆半径），代入（2）式得：；⑶当点P为重心时，，代入（2）式得：．⑷当点P为垂心时，如图2，，同理，，代入（2）式得：．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等；若作为压轴题，则难度大．【技能方法】三角形“四心”的向量表示①在中，若或，则点是的外心；②在中，若，则点是的重心；③在中，若，则直线过的重心；④在中，若，则点是的垂心；⑤在中，若，则直线通过的内心．【易错指导】很多同学不知道三角形中重心，外心，内心，外心的定义及性质，比如三角形重心将中线分为二比一两段，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，内心到三边的距离相等；由这几个向量式不知道如何化简，特别是得到，由此想到垂心．V．举一反三·触类旁通考向1 三角形重心与向量【例1】【2018内蒙古呼和浩特市高三11月质量普查】已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则一定为的（ ）A．重心 B．边中线的三等分点（非重心） C．边中线的中点 D．边的中点【答案】B【例2】已知点是的重心，内角所对的边长分别为，且，则(   )A． B． C． D．【答案】A【解析】∵点O是△ABC的重心，∴，又∵2a=，∴可设2a=x，b=x，c=x（x＞0），∴a=，b=x，c=（x＞0），∴cosC===，∴sinC=，同理可得：，，故选：．【名师点睛】设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心．（2）为的重心．（3）为的垂心．（4）为的内心．【例3】【2018广西桂林市、贺州市高三上学期期末联考】已知点为的重心，设的内角的对边为且满足向量，若，则实数（ ）A．2 B．3 C． D．【答案】D，故选D．【跟踪练习】1．【2018四川宜宾高三上半期考】已知 中，若G为的重心，则=A． B． C． D．【答案】C【解析】 = =4，故选C．【名师点睛】本题考查平面向量基本定理的应用以及数量积的应用．平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义．(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．2．已知G点为△ABC的重心，且，若，则实数的值为A．1 B． C． D．【答案】C3．【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺】已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】C【解析】在中，由正弦定理得，设边上的中点为，由已知可得，故点的轨迹在三角形的中线上，则点轨迹一定通过三角形的重心，故选C．4．【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺】已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中则△ABC和△AMN的面积之比为_______．【答案】5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为 ．【答案】【解析】这题应该用到这个结论：是直线外一点，，则三点共线的充要条件是．本题中就是设，则，由于是的重心，有，又，根据平面向量基本定理得，即，，代入得．6．已知的重心为，过任做一直线分别交边于两点，设，则的最小值是_______．【答案】考向2 三角形外心与向量【例4】【2018四川成都外国语学校高三11月月考】设是所在平面内的一点，若且．则点是的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】由，得，即，所以，设D为AB的中点，则，故；因为，所以，所以，设BC的中点为E，同上可知，所以P为AB与BC的垂直平分线的交点．所以P是的外心．选A．【名师点睛】三角形“四心”的向量表示①在中，若或，则点是的外心；②在中，若，则点是的重心；③在中，若，则直线过的重心；④在中，若，则点是的垂心；⑤在中，若，则直线通过的内心．【例5】【2018河北衡水中学高三上学期九模】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹经过的（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】A【例6】【2018重庆一中高三下学期第一次月考】点是锐角三角形的外心，，则的值为________【答案】20【解析】 如图所示，过点分别作于于，则分别是的中点， 可得在中，， 所以，同理可得， 所以． 【名师点睛】本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题，其中解答中将放在它的外接圆中，过点分别作，，得到分别是的中点，利用数量积的运算，分别求得的值是解答的关键，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质，有一定的综合性，属于中档试题．【跟踪练习】1．【2018江西南昌一模】设是的外心(三角形外接圆的圆心)．若 ，则∠的度数等于(　　)A． B． C． D．【答案】C【名师点睛】这个题目考查了向量在三角形的四心中以及向量的三角形法则，求模运算以及数量积的运用，属于中档题．对于向量的小题常用的方法有：数形结合法，建系的方法，见模平方的意识，基底化的意识．2．【2018浙江省普通高等学校全国招生统一考试数学模拟】已知为锐角的外心，，若，且．记，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D∴，．∵，∴①②∵③∴由①②③得，根据余弦定理可得，∴．在中，由大边对大角得：．∵，且余弦函数在上为减函数，∴，∴，故选D．【名师点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．3．已知O是锐角的外心，，若则m＝（ ）A． B． C．3 D．【答案】A，化为．，，．，故答案选．4．【2018新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断测试】在中，，，是的外心，若，则________．【答案】【解析】因为，所以，，即，因此，解得．5．【2018四川省双流中学高三11月月考】已知为的外心，其外接圆半径为1，且．若，则的最大值为__________．【答案】∵，∴，解得∵ B在圆上，代入，即，，解得或（舍去）故最大值为，故填．考向3 三角形内心与向量【例7】【2018山西省运城市康杰中学期中考试】已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心【答案】D【解析】∵、分别表示向量、方向上的单位向量，∴+的方向与∠BAC的角平分线重合，又∵可得到 ﹣==λ（+），∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合，∴一定通过△ABC的内心故选：D．【名师点睛】平面向量的线性运算技巧：将向量转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线、平行四边形等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．【例8】【2018四川德阳高三二诊】已知中，角、、所对的边分别是、、且，，，若为的内心，则的面积为__________．【答案】【名师点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形的面积公式，包括海伦公式及有关内切圆的面积公式．首先根据，及，得到，利用两角和与差的正弦公式和二倍角公式，化简这个式子可求得的值．利用海伦公式可求得面积．【跟踪练习】1．【2017年12月浙江省重点中学期末热身联考】已知三角形，，，，点为三角形的内心，记，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵三角形，，，，点为三角形的内心∴∴，即，即，即∴ 根据余弦定理可得：∴∴，，∴【名师点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起。