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一类源自二次和三次映射的混合泛函方程的模糊稳定性.doc

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    • 一类源自二次和三次映射的混合泛函方程的模糊稳定性摘要:泛函方程的稳定性问题源自 Ulam 在 1940 年提出的关于群同态的稳定性间题:给定一个群和一个度量群,其中为一个度量给定一个1,*G2, ,Gd ,d  ,存在一个使得如果为一个映射且对所有的均有0012:f GG1, x yG是否存在一个同态使得对所有的,   *,df xyf xfy12:g GG1xG?  ,df xg x1941年, D.H.Hyers解决了Banach空间上可加映射的稳定性问题在接下来的 几十年里,许多数学家对各种不同的泛函方程的稳定性进行了系统的研究,例 如指数方程,二次泛函方程,三次泛函方程以及广义可加的泛函方程等1978年, Th.M. Rassias解决了线性映射在Banach空间的稳定性问题;1992年,Gavrute进一步研 究得出Rassias定理;1999年,Y.Lee和K.Jun研究了广义Jensen方程的稳定性;这 些稳定性的成果在随机分析、金融数学和精算数学等领域中均有广泛的应用 在本文中,我们研究了一个源自二次和三次映射的泛函方程     2222244fxyfxyf xyf xyfxfyf xf y的 Hyers-Ulam 稳定性。

      共分为一章五节在第一、二节中,我们给出了引言和预备知识然后我们在第三节中,我们 给出了该方程的通解,并在第四节中研究了其在模糊 Banach 空间中的 Hyers- Ulam 稳定性关键词:Hyers-Ulam 稳定性;二次泛函方程;三次泛函方程;模糊 Banach空间Fuzzy stability of a Functional Equation deriving from Quadratic and Cubic FunctionsAbstraet: The stability problem of functional educations originatedFrom a question of Ulam concerning the stability of group homomorphisms In 1940: Give a groupand a metric groupwith the 1,*G2, ,Gdmetric.Give ,d  ,does there exists a such that if satifies0012:f GGfor all,then is there a   *,d f xyf xfy1, x yGhomomorphismwith for all ?12:g GG  ,d f xg x1xGIn 1941,D.H.Hyers solved the stability Problem of additive mapping on Banach spaces.In the following decades, many mathematicians have studied The stability of different kinds of functional equations such as exponent- tial equation,quadratic funetional equation,cubic functional equation, generalized additive equation and so on. In1978,Th.M.Rassias solved the stability problem of linear mapping in Banach space. In 1992, Gavrute further concluded that the Rassias theorem. In1999,Y.Lee and K.Jun stu- died the stability of generalized Jense equation. These stability results have applications in some related fields such as random analysis,fina- ncial mathematics and actuarial mathematics.In this paper, We consider the solution and fuzzy stability of a mixed functional equation deriving from the quadratic and cubic functional equations:    2222244fxyfxyf xyf xyfxfyf xf yConsists of a section of the five chapter.In the first,second section, We give introduction and preliminaries. Then in the third section,we discuss the solution of above mixed functio- nal equation. And give the fuzzy Banach space in the Hyers-Ulam stability in section fourth.Keywords:Hyers-Ulam stability;Quadratic functional equations;Cubic functional equations;Fuzzy Banach spaee.目录 1.引言..........................................12.预备知识......................................23. 泛函方程(3)的解.............................34.泛函方程(3)的模糊稳定性.....................65.例子.........................................19参考文献........................................22致谢...................,,,.,....................231 引言泛函方程稳定性问题源自Ulam在1940年提出的关于群同态的稳定性问题:1给定一个群和一个度量群,其中为一个度量。

      给定一个,存1,*G2, ,Gd ,d  0在一个使得如果为一个映射且对所有的均有012:f GG1, x yG是否存在一个同态使得对所有的  *,d f xyf xfy12:g GG, ? 1xG  ,d f xg x1941年, D.H.Hyers解决了Banach空间上可加映射的稳定性问题在接下来 2的几十年里,许多数学家对各种不同的泛函方程的稳定性进行了系统的研究,例如 指数方程,二次泛函方程,三次泛函方程以及广义可加的泛函方程等1978年,Th.M. Rassias解决了线性映射在Banach空间的稳定性问题;1992年,Gavrute 3进一步研究得出Rassias定理;1999年,Y.Lee和K.Jun研究了广义Jensen方程的 4稳定性;这些稳定性的成果在随机分析、金融数学和精算数学等领域中均有 5广泛的应用 称泛函方程   22f xyf xyf xfy 1为二次泛函方程容易看出函数满足的每个解都称为 2f xax 1 1f一个二次映射。

      Skof研究了的Hyers-Ulam稳定性问题Czerwik研究了 1 6的Hyers-Ulam-Rassias稳定性Moslehian , Nikodm和Popa研究了多重赋 1 7范空间中二次泛函方程的逼近问题 8Jun和Kim介绍了下面的三次泛函方程 9 222212fxyfxyf xyf xyf x 2并且解决了其广义稳定性问题我们容易得到函数满足. 每一 3f xax 2个满足三次泛函方程的解称为三次映射f2 预备知识1984年, Katsaras性空间上定义了一个模糊范数Wu和Fang 也引入 10了模糊赋范空间的定义并且在模糊拓扑线性空间中给出了广义的Kolmogoroff范数定理此后, 许多数学家性空间中从各种不同的角度研究了模糊度量 11和模糊范数2003年, Bag和Samanta修改了文献中给出的定义, 给出了 12 13下面的模糊范数的定义下面的定义来自文献 12定义1 设为一个实线性空间, 若是一个函数, 若对所有的X:0,1N XR和满足:, x yX, a bR其中;1N,0N x a 0a 当且仅当, 其中;2N0x ,1N x a 0a 如果, 则;3N0a ,,bN ax bN xa;4N,min,,,N xy abN x aN y b是上的非单调递减的函数且;5N,N x Rlim,1 aN x a 对,在上是(上半) 连续的。

      6N0x ,N x R则称这个函数为上的模糊范数, 且称为一个模糊赋范空间NX,X N例1 设为一个赋范线性空间则不难验证,X ,00,0,{ax X aaxx X aN x a是上的一个模糊范数X定义2 设为模糊赋范线性空间上的一个序列若存在 nx,X N使得xX,lim,1nnN xx a 其中, 则称为收敛的此时,称为序列的模糊极限, 记为0a  nxx nxlimnnxNx 定义3 设为模糊赋范线性空间上的一个序列如果对任意的 nx,X N和,存在使得对所有的和, 有00a  0n0nnpN, ,1npnN xx a 则称为一个Cauchy列 nx显然模糊赋范空间中的每一个收敛列都是Cauchy列在模糊赋范空间X中, 如果每一个Cauchy列都是收敛的, 则称X为一个模糊Banach空间关于泛函方程的模糊稳定性的一些结果, 我们参考文献- 13 15在本文中, 我们研究一个源自二次泛函方程和三次泛函方程的混合 1 2泛函方程:    2222244fxyfxyf xyf xyfxfyf xf y 3容易看出函数是此方程的一个解.。

      我们首先考虑方程的 23f xaxbx 3解,然后研究了泛函方程在模糊Banach空间中的Hyers-Ulam稳定性问题 33 泛函方程(3)的解在本节中, 我们总是假设为实向量空间,X Y定理1 设为一个映射则满足当且仅当存在一个二次映射:fXYf 3和一个三次映射使得对任意, Q x H xxX   f xQ xH x证明 设存在一个二次映射和一个三次映射使得  Q x H x   f xQ xH x其中.则满足且满足在中,令, 得xXQ 1H 2 10xy在中,令,可以得到。

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