高中数学 4.1.2 圆的一般方程配套课件 新人教A版必修2.ppt

4.1.2 圆的一般方程【学习目标】1.会判断一个二元二次方程是不是圆的一般方程.2.正确理解圆的一般方程及其特点.3.会用待定系数法求圆的一般方程.4.能进行圆的一般方程与标准方程的互化.圆的一般方程D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F<0D2＋E2－4F>0练习：圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为__________，半径为________.(2，－3)【问题探究】方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆吗？提示：不表示圆.方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故不表示圆，而表示点(1，－2).题型 1 将圆的一般方程化为标准方程【例 1】 将圆的一般方程 x2＋y2－4x＝0 化为标准方程，并写出圆心坐标和半径.思维突破：把圆的一般方程化为标准方程时常采用配方法.解：x2＋y2－4x＝0配方后为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心为(2,0)，半径 r＝2.【变式与拓展】1.将圆的方程x2＋y2＋2ay－1＝0化为标准方程并写出圆心坐标和半径.题型 2 求圆的方程【例 2】 已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程.思维突破：由题设三个条件，可利用待定系数法求方程，如利用弦的中垂线过圆心，也可先确定圆心，再求圆的半径.∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法三：线段 AB 的中垂线方程为 2x＋y＋4＝0.它与直线 x－2y－3＝0 的交点(－1，－2)即为圆心，由两点间距离公式，得 r2＝10，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.【变式与拓展】2.求过点 A(2，－2)，B(5,3)，C(3，－1)的圆的方程.题型 3 求与圆有关的动点轨迹方程【例 3】 等腰三角形的顶点是 A(4,2) ，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点 C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.解：设另一端点 C 的坐标为(x，y).依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，整理，得(x－4)2＋(y－2)2＝10.又因为 A，B，C 为三角形的三个顶点，所以 A，B，C 三点不共线.即点 B，C 不能重合且B，C 不能为圆 A 的直径的两个端点.因为点 B，C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5).又因为点 B，C 不能为圆 A 的直径的两个端点，故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10[除去点(3,5)和(5，－1)].和(5，－1)两点.图 4-1-1(1)求曲线的轨迹方程的注意事项.①根据题目的条件，选用适当的求轨迹的方法；②要看准是求轨迹还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表达的曲线(图形)；③验证轨迹上是否有应去掉或漏掉的点.(2)求与圆有关的轨迹问题常用的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.③相关点法：若动点P(x，y)随着圆上另一动点Q(x1，y1)的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点 P 的轨迹方程.【变式与拓展】3.已知定点 A(4,0)，点 P 是圆 x2＋y2＝4 上一动点，点 Q 是AP 的中点，求点 Q 的轨迹方程.解：设点Q 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x′，y′)，则又点P在圆x2＋y2＝4上，∴(x′)2＋(y′)2＝4.将x′＝2x－4，y′＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.【例4】 当m为何值时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一个圆.易错分析：对二元二次方程表示圆的条件理解不全面.A＝B是Ax2＋By2＋F＝0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要综上所述，m＝－3 即为所求.解：∵方程表示一个圆，故2m2＋m－1＝m2－m＋2，即m2＋2m－3＝0.故m＝1或m＝－3.当m＝1时，原方程可化为2x2＋2y2＝－3，不合题意；[方法·规律·小结]1.如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般形式.圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍是待定系数法.2.特殊条件的圆的方程的求解方法.特殊条件标准方程一般方程圆心在原点x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0经过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2x2＋y2＋Dx＝0圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Ey＝0与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2－4F＝0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(E2－4F＝0)。