浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题 含解析.docx

浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的）1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系即可求解.【详解】由题意，直线的斜率,设直线的倾斜角为，且,,所以.故选：C.2. 已知椭圆，则椭圆的短轴长为（ ）A. B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据椭圆标准方程直接求解即可.【详解】由题意，椭圆,,所以,故短轴长为.故选：B.3. 直线与直线的距离为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用平行线的距离公式求距离即可.【详解】由，显然与平行，所以它们的距离为.故选：D4. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.【详解】联立方程，整理可得，当时，即，方程有一解，即只有一个公共点；当时，，解得；所以直线与双曲线只有一个公共点时，或，所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，故选：A5. 过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线关于直线对称，则直线与直线垂直，再联立直线与直线即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为,因为直线关于直线对称，则直线与直线垂直，所以直线的方程为，即，由解得，，所以点的坐标为.故选：D.6. 已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解.【详解】,因为四点共面，所以，注意到，从而.故选：B.7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果.【详解】由题意得，，由椭圆定义得，故，∵，，∴，∴与相似，∴，即，整理得，故，解得，由得，，即椭圆的离心率为.故选：B.8. 如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为矩形，为等腰直角三角形，且，点段AD上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，球心为，半径为，结合题意可得，进而得到，再结合二次函数的性质及球的表面积公式求解即可.【详解】取的中点，连接，因为，所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，以为原点，以所在直线为轴，以过点平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，则，，，设，三棱锥外接球球心为，半径为，则，解得，即，因为，所以，则当时，取得最小值，当时，取得最大值3，即，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立空间直角坐标系，设出坐标，表示出外接球半径的关系，进而结合二次函数的性质及球的表面积公式求解即可.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9. 在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则点的轨迹是双曲线B. 若，则点的轨迹是椭圆C. 若，则点的轨迹是一条直线D. 若，则点的轨迹是圆【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D.【详解】因为，所以，对于A：因为，所以点是以、为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误；对于C：设，则，，因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确；对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确.故选：ACD10. 已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）A. B. 平面C. 异面直线AE与所成的角的余弦值为 D. 点到平面ACE的距离为【答案】ABD【解析】【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则.A：，所以，故A正确；B：，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正确；C：，则，所以，即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；D：设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，得，所以点到平面的距离为，故D正确.故选：ABD11. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ）A. 若时，圆与圆有两条公切线B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为C. 弦长的最小值为D. 若点，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】确定两圆位置关系判断A；两圆方程相减求出公共弦所在直线方程判断B；求出直线所过定点，进而求出最短弦长判断C；求出弦的中点的轨迹，进而求出最大值判断D.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误；对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得，即，B正确；对于C，直线恒过定点，，点圆内，当时，取得最小值，C正确；对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时，，有，当与点之一重合，上式成立，则，因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，，而，因此的最大值为，D正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：本题D选项，求出弦的中点的轨迹，转化为定点与圆上点间距离最大值问题.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A，B两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______.【答案】12【解析】【分析】根据题意，由椭圆的定义代入计算，即可得到结果.【详解】 由椭圆的定义可得，BF1+BF2=2a，且，，所以的周长为.故答案为：13. 在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为______.【答案】【解析】【分析】由题意直线经过点，且为一个方向向量，易得，应用点线距离的向量求法求点到直线的距离即可.【详解】由题意，直线为，经过点，且为一个方向向量，所以，故点到直线的距离为.故答案为：.14. 平面直角坐标系中，已知圆与双曲线有唯一公共点，若圆心在双曲线的一条渐近线上且直线平行于另一条渐近线，则圆的方程为______.【答案】【解析】【分析】由题意易得，，，，圆与双曲线在处的切线重合，进而结合双曲线在处的切线方程为，可得，进而得到，再求出，进而求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，如图所示，圆心在双曲线的一条渐近线上，则,因为直线平行于另外一条渐近线，所以，又圆与双曲线有唯一公共点，则圆与双曲线在处的切线重合，而双曲线在处的切线方程为，即，则，即，则，解得，即，即圆的半径,所以圆的方程为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出圆与双曲线在处的切线重合，进而结合双曲线在处的切线方程为求出，进而求出，进而求解.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知圆和圆外一点（1）求的取值范围（2）若，过点作圆的切线，求切线方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据圆的一般方程表示圆及点在圆外，列不等式即可求解.（2）根据条件求及圆的标准方程.讨论切线斜率是否存在两种情况，当斜率不存在时,可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离即可求解.【小问1详解】根据题意：，点在圆外，则，所以实数的取值范围为.【小问2详解】由（1）知，且，所以.则圆的方程为：当不存在时，直线，满足题意，当存在时，设切线方程为因为，所以，所以切线方程为，综上，切线方程为：或.16. 如图，在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，平面，（1）证明：平面平面（2）求直线与平面所成角的大小【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得，进而可得，，利用线线垂直可得线面垂直，从而可证结论；（2）法1：延长线段交于点，过点作交于点，过点作平面于点，可得为直线与平面所成的角，求解即可. 法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与直线的方向向量，利用向量法可求直线与平面所成角的大小.【小问1详解】不妨设，则，由余弦定理得，四边形是平行四边形，平面，又，平面，平面，又平面，平面平面，【小问2详解】法1：延长线段交于点，过点作交于点，由（1）知，平面平面，平面平面平面，平面平面平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，在Rt中，，过点作平面于点，则为直线与平面所成的角，，，即，所以与平面所成的角为.法2：由（1）可知两两相互垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为则令，则，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，，所以直线与平面所成的角为.17. 在平面直角坐标系xOy中，动点到点的距离之和为4，点的轨迹为，曲线与轴正半轴交于点.（1）求曲线的方程（2）若过点的直线与交于E，F两点（点在轴上方），点为BF的中点，若，求直线的方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意得到动点的轨迹是焦点在轴的椭圆求解；（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据分别是BF，AB的中点，得到，利用比例关系得到，再结合韦达定理求解.【小问1详解】解：由题意可知：动点的轨迹是焦点在轴的椭圆，所以即，所以轨迹方程为；【小问2详解】显然直线的斜率存在，则设直线的方程为：，由，设，由韦达定理可得：①，分别是BF，AB的中点，，②，由①②可得，所以直线的方程为。