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行列式按行展开和克莱姆法则

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常见问题

1、例如,行列式按行(按列)展开,一、余子式与代数余子式,叫做元素的代数余子式,例如,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,定理,证明（分三步）,第一步,得,把D的第 i 行依次与第i +1 行，第i +2 行, , 第 n 行对调,为什么依次对调行？,第二步,再把D的第j 列依次与第j+1 列，第j+2 列, , 第n 列对调,一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,第三步,例1,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,代数余子式的重要性质,推论,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,例计算行列式,解,例计算阶行列式,解,将第都加到第一列得,例,解,提取第一列的公因子，得,将第一列的-a1倍加到第2列， -a2倍加到第3列 , - an 倍加到最后一列，得,本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性

2、质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的,评注,例计算,解,将行列式的第2、3、4行都加到第1行，并提取第一行的公因子,按第一行展开得,把第二行加到第一行，再提取公因子得：,第二列减去第一列得,按第一行展开,本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用,评注,例计算,解,拆分最后一列使得行列式等于两个行列式的和,由此递推，得,如此继续下去，可得,即,当,把第一行的 -1被加到第2、3、n行，得,这是一种典型的行列式,见P17 例10,设,证明递推公式：,例,设,求,例,例,求第一行各元素的代数余子式之和,设n 阶行列式,灵活运用行列式的按行或按列展开性质,例设,用行列式的定义证明,证明,由行列式的定义有,利用范德蒙行列式计算,例计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点

3、，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知,本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式,评注,用数学归纳法,证明,证,对阶数n用数学归纳法,假设对阶数小于n 的行列式结论成立，下证对阶数等于 N 的行列式也成立. 现将Dn按最后一行展开,所以对一切自然数成立。,评注,本例中，为了将Dn 展开成能用其同型的Dn-1、Dn-2 表示，本利必须按第n 行或第n 列展开，否则所得的行列式不是与Dn同型的行列式,一般来说，当行列式已告诉其结果，而我们证明的是与自然数有关的结论时，可考虑用数学归纳法来证明。如果未告诉结果，也可先猜想其结果，然后用数学归纳法证明其猜想结果成立。,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用

4、的几种方法,小结,Laplace 展开定理,定义,定理,设在n阶行列式中取丁某k行，则D等于这 k 行的所有 k阶子式与它们各自对应的代数余子式的乘积之和。,例,行列式的乘法法则,其中,克莱姆法则,音乐,克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。主要著作是代数曲线的分析引论（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,那么线性方程组(1) 有解，并且解是唯一的，解可以表为,其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即,证略.,注意：在利用克莱姆法则解方程组时，系数行列式不能等于零。另外，方程组中方程的个数与未知数的个数必须相等。,例1 用克莱姆法则解方程组,解,所以方程组有唯一解,为齐次线性方程组.,称方程组,(2),称为零解.,推论如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 ,则(2)只有零解.,以后证明: 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 ,则(2)必有非零解.,有非零解？,例2 问取何值时，齐次线性方程组,解,1. 克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系; 2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解: （1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零； 3.克莱姆法则的局限性：（1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。（2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。,

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