行列式按行展开和克莱姆法则

例如,行列式按行(按列)展开,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,定理,证明（分三步）,第一步,得,把D的第 i 行依次与 第i +1 行，第i +2 行, , 第 n 行对调,为什么依次对调行 ？,第二步,再把D的第j 列依次与第j+1 列，第j+2 列, , 第n 列对调,一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,第三步,例1,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,代数余子式的重要性质,推论,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,例 计算行列式,解,例 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,例,解,提取第一列的公因子，得,将第一列的-a1倍加到第2列， -a2倍加到第3列 , - an 倍加到最后一列，得,本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐 步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般 尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）； 若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用 行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给 行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用 这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形 行列式之目的,评注,例 计算,解,将行列式的第2、3、4行都加到第1行，并提取 第一行的公因子,按第一行展开得,把第二行加到第一行，再提取公因子得：,第二列减去第一列得,按第一行展开,本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列） 化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开， 每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续 进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开 成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列 式比较适用,评注,例 计算,解,拆分最后一列使得行列式等于两个行列式的和,由此递推，得,如此继续下去，可得,即,当,把第一行的 -1被加到第2、3、n行，得,这是一种典型的行列式,见P17 例10,设,证明递推公式：,例,设,求,例,例,求第一行各元素的代数余子式之和,设n 阶行列式,灵活运用行列式的按行或按列展开性质,例 设,用行列式的定义证明,证明,由行列式的定义有,利用范德蒙行列式计算,例 计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所 给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,解,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式,评注,用数学归纳法,证明,证,对阶数n用数学归纳法,假设对阶数小于n 的行列式结论成立，下证对阶数等于 N 的行列式也成立. 现将Dn按最后一行展开,所以对一切 自然数成立。,评注,本例中，为了将Dn 展开成能用其同型的Dn-1、Dn-2 表示，本利必须按第n 行或第n 列展开，否则所得的 行列式不是与Dn同型的行列式,一般来说，当行列式已告诉其结果，而我们证明的是 与自然数有关的结论时，可考虑用数学归纳法来证明。 如果未告诉结果，也可先猜想其结果，然后用数学 归纳法证明其猜想结果成立。,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有 多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合 应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上 的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考 察它是否能用常用的几种方法,小结,Laplace 展开定理,定义,定理,设在n阶行列式中取丁某k行，则D等于这 k 行的所有 k阶子式与它们各自对应的代数余子式的乘积之和。,例,行列式的乘法法则,其中,克莱姆法则,音乐,克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。主要著作是代数曲线的分析引论（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,那么线性方程组(1) 有解，并且解是唯一的，解可以表为,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,证略.,注意：在利用克莱姆法则解方程组时，系数行列式不能等于零。另外，方程组中方程的个数与未知数的个数必须相等。,例1 用克莱姆法则解方程组,解,所以方程组有唯一解,为齐次线性方程组.,称方程组,(2),称为零解.,推论 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 ,则(2)只有零解.,以后证明: 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 ,则(2)必有非零解.,有非零解？,例2 问 取何值时，齐次线性方程组,解,1. 克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系; 2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解: （1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解； （2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零； 3.克莱姆法则的局限性： （1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。 （2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。,