高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 2_1 复数的加法与减法教材基础 北师大版选修2-21
3页1、2.1 复数的加法与减法 随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学和技术的进步,逐步建立起来的复变数函数理论在应用于堤坝渗水的问题、建立巨大水电站时所提供的理论依据中越来越需要进行大量的加、减、乘、除、乘方、开方运算.早在1747年,法国著名的数学家达兰贝尔指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是a+bi的形式(a、b都是实数).他开创了复数四则运算的先河.高手支招1细品教材一、复数的加法1.复数的加法法则设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,复数的加法按照以下法则进行:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.两个复数和仍是一个复数,其实部为a+c,虚部为b+d.因此,两复数相加就是将两个复数的实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.【示例1】 计算(7+5i)+(2+3i).思路分析:实部相加作为和的实部,虚部相加作为和的虚部.解:(7+5i)+(2+3i)=(7+2)+(5+3)i=9+8i.【示例2】 计算:(-2+3i)+(5-i);(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR).思路分析:直接运
2、用复数的加减运算法则进行计算.解:原式=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.原式=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i.2.复数加法的交换律、结合律对任何z1,z2,z3C,复数运算律如下:(1)交换律:z1+z2=z2+z1.证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i.则:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,而z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i,由a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1及复数相等的定义得:(a1+a2)+(b1+b2)i=(a2+a1)+(b2+b1)i,z1+z2=z2+z1.(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.(z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)iz1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=a1+b
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