高中数学 第二章 概率 6 正态分布知识导航 北师大版选修

1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求 6 正态分布 自主整理 1.离散型随机变量的取值是可以_的,但在实际应用中,还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值,是不可以一一列举的,这种随机变量称为连续型随机变量. 2.如果一个随机变量X可以取某一区间中的一切值,那么在取出的样本中,样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率,设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线称为随机变量X的_.这条曲线对应的函数称为X的_,记为_. 3.如果知道了X的分布密度曲线,则X取值于任何范围(例如aXb)的概率,都可以通过计算该曲线下相应的_而得到,因此,我们说X的分布密度函数f(x)完全描述了X的规律.计算面积的方法,实际上是计算分布密度函数f(x)在一个区间上的_. 4.正态分布是现实中最常见的分布,它有两个重要的参数:_和_(0),通常用_表示X服从参数为和2的正态分布.当和给定后,就是一个具体的正态分布.

2、当n很大时,二项分布也可以用_分布来近似描述. 5.随机变量服从正态分布,则它在区间(-2,+2)外取值的概率只有_,而在区间(-3,+3)外取值的概率只有_,由于这些概率值很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中_. 高手笔记 1.为总体的均值(或期望),即EX=. 2(0)为总体的方差,为总体的标准差,即DX=2,=. 2.正态分布的性质 (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=对称. (3)曲线在x=处达到峰值. (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移. (6)当一定时,曲线的形状由确定:越小,曲线起“瘦高”,表示总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. (7)若XN(,2),则对于任何实数a0,概率P(-ax+a)=(x)dx. 3.正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 P(-X+)=68.3% P(-2X+2)=95.4% P(-3X+3)=99.7% 名师解惑 1.正态分布的题型及求解策略 剖析：(1)借助正态分布密度曲线的图象及性质解题. 结合

3、实例、图象,理解正态曲线的性质,并会运用性质去解决简单的问题,要特别注意正态曲线的对称性,以及当一定时,曲线的形状与大小的关系. (2)对于有关正态分布的计算问题,要记住当正态总体取值在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内的概率值,将所给问题转化到上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用. 2.质量控制的基本思想3原则 剖析：一般认为凡服从正态分布的随机变量X取(-3,+3)之间的概率为0.997,所以只有0.003的概率在区间之外,称这样的事件为小概率事件,所以,在一个总量比较大的总体中取一件,一定落在区间(-3,+3)内,所以用这样的方法来检验总体是否合格. 讲练互动 【例1】某班有48名同学,一次考试后数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,问从理论上讲成绩在80分到90分之间的有多少人? 分析：要求成绩在80分到90分之间的人数,需先求出分数落在这个范围内的概率,然后乘以总人数即可. 解:设X表示这个班学生的数学成绩,则XN(80,102),成绩在80分到90分之间的学生的比例为 P(80-10x80+10)= 0.683=0.341 5

4、, 所以,成绩在80分到90分之间的人数为 480.341 516(人). 绿色通道:记住相关数据:P(-x+)=68.3%. 变式训练 1.某地区数学考试的成绩x服从正态分布,其密度函数曲线如下图.成绩x位于区间(52,68的概率是多少? 分析：这是道典型的由图形求函数,由函数求概率的题目,我们发现xN(,2),其中=60,f(x)=, =8.而区间(52,68关于x=对称, P(52x68)=P(60-8x60+8)=P(-x+)=0.682 6. 解:x服从正态分布,设其密度函数f(x)=由图形知=60,顶点为(60, ),=8. 设x位于区间(52,68上的概率为P(52x68)=P(60-8x60+8)=P(-x+)=0.683. 【例2】设在一次数学考试中,某班学生的分数XN(110,202),已知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 分析：要求及格的人数,先要求出P(90X150),而求此概率需将问题转化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后利用对称性求解. 解:XN(110,202),=110,=20

5、. P(110-20X110+20)=0.683. X130的概率为(1-0.683)=0.158 5, X90的概率为0.683+0.158 5=0.841 5. 及格的人数为540.841 345(人), 130分以上的人数为540.158 59(人). 绿色通道:本题是利用正态曲线的对称性结合三个特殊概率值求概率,要学会应用这种方法. 变式训练 2.公共汽车车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在0.15%以下设计的.如果某地区成年男子的身高XN(175,36)(单位：cm),则该地区公共汽车车门高度应设计为多少? 解：设该地区公共汽车车门的高度应设计为x cm,则根据题意便有P(Xx)0.15%.因为XN(175,36),所以=175,=6,P(Xx)=1-P(Xx)0.15%21-P(Xx)0.3%. 由图可知 P(175-(x-175)Xx)99.7%. 因为P(-3X+3)=99.7%. 所以x175+3=193, 即该地区公共汽车车门高度至少应设计为193 cm. 【例3】某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分为不及

6、格,求: (1)成绩不及格的人数占多少? (2)成绩在8090间的学生占多少? 分析：利用正态分布曲线作出草图,结合特殊值求解. 解:(1)设学生的得分情况为随机变量X, XN(70,102),则=70,=10, P(70-10X70+10)=0.683, 不及格的学生的比为(1-0.683)=0.158 5, 即成绩不及格的学生占15.85%. (2)成绩在8090间的学生的比为 P(50X90)-P(60X80)=(0.954-0.683)=0.135 5, 即成绩在8090间的学生占13.55%. 绿色通道:利用正态曲线的对称性及P(-X+)=68.3%解决本题. 变式训练 3.设X服从N（0,1）,求下列各式的值. (1)P(X0);(2)P(X2). 解:(1)P(X0)=P(X0). P(X0)+P(X0)=1, P(X0)= . (2)P(-2X2)=P(-2X+2)=0.954. P(0X2)=P(-2X2)=0.477. P(X0)= ,P(X2)=P(X0)-P(0X2)=0.023. 【例4】某工厂生产的产品的直径，服从正态分布N(5,0.01)单位:cm.质检部

7、从生产的一批产品中取出一件测量为4.63 cm,则这批产品是否合格? 分析：本题是用3原则检测产品的应用. 解:由于产品服从正态分布N(5,0.01),从大批产品中取一件必定落在区间（-3,+3）内，即抽取一件的尺寸一定在区间(4.7,5.3)内,而4.63(4.7,5.3). 小概率事件发生了,所以这批产品不符合规格. 绿色通道:本题反映了质量控制的基本思想及3原则,若随机变量XN(,2),则X在（-3,+3）外取值的概率只有0.3%,通常认为这种小概率事件在一次试验中几乎不可能发生. 变式训练 4.某设备在正常运行时,产品的质量服从正态分布,其参数为=500 g,2=1.为了检查设备运行是否正常,质量检查员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检查员随机地抽取一个产品,测得其质量为504 g,他立即要求停止生产检查设备.他的决定是否有道理呢? 解:如果设备正常运行,产品质量服从正态分布,由于正态分布的参数为=500,2=1.根据正态分布的性质可知,产品质量在-3=500-3=497(g)和+3=500+3=503(g)之间的概率为0.997,而质量超出这个范围的概率只有0.003,这是一个几乎不可能出现的事件.但是,检查员随机抽出的产品为504 g,这说明设备的运行极可能不正常,检查员的决定是有道理的. 配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径

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