初中数学几何证明题模型

1、1.补成三角形 例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点； 证明：ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。,初中几何证明题辅助线训练营,分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。,分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF2CE，再证BDCF即可。,2.补成等腰三角形 例2 如图2.已知A90，ABAC，12，CEBD，求证：BD2CE,3.补成直角三角形 例3.如图3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90，F、G分别是AD、BC的中点，若BC18，AD8，求FG的长。,分析：从B、C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。,图3,4.补成等边三角形 例4.图4，ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AEBD，连结CE、ED。证明：ECED,分析：要证明ECED，通常要证ECDEDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BFBE，连结EF。,5.补成平行四边形 例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB

2、、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直上，求证：EF和GH互相平分。,分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。,6.补成矩形 例6.如图6，四边形ABCD中，A60，BD90，AB200m，CD100m，求AD、BC的长。,分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。,图6,7.补成菱形 例7.如图7，凸五边形ABCDE中，A=B120，EAABBC2，CDDE4，求其面积,分析：延长EA，CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。,图7,8.补成正方形 例8.如图8，在ABC中，ADBC于D，BAC45，BD3，DC2。求ABC的面积。,图8,分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设BAC45，ADBC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。,9.补成梯形 例9如图9，已知：G是ABC中BC边上的中线的中点，L是ABC外的一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G

3、1。求证：GG1 1/4(2AA1BB1CC1)。,图9,分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。,1、在ABC中，AC=BC，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BE平分ABC。,课后作业：,2、如图，已知：在ABC内，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP,3、已知：BAC=90，AB=AC，AD=DC，AEBD，求证：ADB=CDE,4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为S和，求：St的值。,5.ABC中，分别以AB,AC,BC为边在同侧作等边三角形ABD,BCF,ACE 探究下列问题（1）当ABC满足_条件时，四边形DAEF是矩形.（2）当ABC满足_条件时，四边形DAEF

4、是菱形.（3）当ABC满足_条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.,如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形，首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF=60度-角FBA=角ABC而DB=AB, BF=BC三角形DBF全等于三角形ABC所以:DF=AC=AE同理可证:DA=FE 所以:DAEF为平行四边形 (1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形 则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度 (而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC90度) (2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形，则必须:AB=AC (3)如果:角BAC=60度 则:角DAE=3*60度=180度 D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在 据此,(2)的结论应稍加改变为: 当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形,6.已知:如图,三角形ABC中,BAC=90度,ADBC于点D,BE平分角ABC交AD于点M,EFBC于F.求证

5、:四边形AEFM是菱形.,解答：CE是角平分线，EACA， EFCF，CE=CE， CAECFE， EA=EF，AEC=FEC， 又ADCB，EFCB， ADEF， AGE=GEF， AEG=AGE， AG=AE， AG=EF，,四边形AGFE是平行四边形有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 又AG=AE，平行四边形AGFE是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形。 即：四边形AEFG是菱形。,7.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，E为CO上一点，连接BE，F为OBE角平分线上一点，连接OF、AF，G为BE上一点且BO=BG。（1）若FGOF，OF=1,求线段OG的长度；（2）若AFB90，求证：AFBF+OG,（1）、BF平分OBE OBF=GBF BO=BG，BF=BF OBFGBF OF=FGFGOF OFG是等腰直角三角形 OG=(OF+FG)=2,（2）、作OH垂直于OF交AF于H ABCD是正方形，BD、AC是对角线 OA=OB，AOB=90 HOF=90(做的OHOF) AOH=BOF(同为HOB的余角） AFB=AOB=90 设AF与OB交于M，OM

6、A=FMB(对顶角） OAH(OAM)=OBF(MBF) 在AHO和BOF中 OA=OB，AOH=BOF，OAH=OBF AHOBOFAH=BF，OH=OF OF=FG(第一步已经证明） OH=FG OFG=HOF=90(这一步有点问题，OFG在第一步是假设的，） OG=FH AF=AH+HF=BF+OG,8.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E，F分别是边AB，BC的中点,点P在上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值为多少？,拓展：若点在AC上运动，存在PE+PF的最小值，则这个最小值为多少？,解：依题意得，当P为EF与BD的交点时，PE+PF最小，为EF的长.点E、F分别为AB、BC的中点，EF是ABC的中位线，EF=0.5AC=3. 即PE+PF的最小值为3.,拓展：用两张等宽的长方形纸条交叉重叠地放在一起,重合的部分为四边形abcd，若长为8，宽为2，求四边形abcd的最大,9.将俩张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD6，ABC60，则四边形ABCD的面积是?,10.如图，已知菱形ABCD中，E,F分别是BC

7、,CD上的点，且B=EAF=60，BAE=18，求CEF的度数,证明：连接AC菱形ABCD中， B=60 AB=BC=CD=DA， AB=AC，FCA=B=60，又EAF=60，CAF=BAE=18 BAE全等于CFA，AE=AF FEA=60，AEB=180-18-60=102 CEF=180-FEA-AEB=180-60-102=18,11.如图，ABC中，BAC=90，BG平分ABC，GFBC于点F，ADBC于点D，交BG于点E，连结EF。 （1）、求证：、AE=AG；四边形AEFG为菱形。 （2）、若AD=8，BD=6，求AE的长。,证明:(1)AE=AG的关键是证明AGE=AEG；AEG=BED，又ADB=90；AEG+GBD=90；又因为AGE+ABG=90且BG为角ABD的角平分线，因此可以推断AEG=AGE ，所以得出AEG为等腰三角形，所以AE=AG。,(2)线段GF平行于线段AD，所以AEGFGE；AGB=FGB，有前面的条件可知ABG=角FBG，又BG=BG，所以三角形ABG全等于三角形GFB，所以AG=AF，从而推出AE=GF，根据菱形的定义：四边形AEFG为平

8、行四边形，又邻边相等，所以四边形为菱形。,(3) AD=8,BD=6,AB=BF=8,DE/GF, BD/BF=DE/FG.设AE=x，则ED=8-x,GF=X,即：6/10=(8-x)/x. 解得x=8/3.,（1）解：连接BD, 点E为CD边的中点,BECD BD=BCDBE=CBE FBE=2EBC DBE=CBE=DBF BF=BG FBDGBC,13.如图，在矩形ABCD中。已知AD=12,AB=5，P是AD上任意一点，PEBD，PFAC，E和F分别是垂足，求PE+PF的值.,A,B,D,C,P,F,E,提示：用三角形的等面积法. SABO=SAPO +SDPO,O,14.已知：如图，在直角三角形ABC中,C=90, AD/BC,CBE= ABE.求证：ED=2AB,取ED的中点F 并与A连接 因为，C=90，AD/BC，所以EAB=90，AF为直角EAB斜边ED上的中线，AF=DF=1/2ED 三角形AED为等腰三角形，D=FAD D+FAD=2D=AFB 又因为CBE=D（内错角），所以CBE=1/2AFB 而已知CBE=1/2ABE，所以AFB=ABE，三角形子BAF为

9、等腰三角形，AB=AF=1/21/2ED 所以，ED=2AB,A,D,B,C,E,F,15.如图，E是矩形ABCD边CB延长线上一点, CECA，F是AE的中点. 求证：BFFD,过F点做AD 的平行线 交AB 于 G 点,则 有 FG 垂直于 AB,三角形 AFG 全等于 三角形 BFG （全等条件： F中点 所以 G 也是重点 AG=FG 都有一直角 和 公共边FG 边角边） 所以 有 AF= BF 角FAB = 角 FBA 又得 角FAD=角FBC（都加一直角）,又 AD=BC 所以 三角形 FAD 全等于三角形 FBC (边角边) 所以 有 角 BFC= 角AFD 角AFD + 角DFC = 90 换量 角BFC+ 角DFC = 90 ,所以 BF FD,圆的经典例题模型,解：连接OA，设正方形ABCD的边长为X 正方形ABCD的边长为X ABBCCDX POM45 OCCDX OBBC+CD2X MN10 OAMN/25 AB+OBOA X+4X25 X5 X5 AB5,1、如图，已知在圆O中，直径MN=10，正方形ABCD的4个顶点分别在半径OM,OP,及圆O上，且POM=45，问：AB？,M,2、如图，已知A,B,C，为圆O上三点，D,E分别为弧AB,弧AC的中点，连DE,分别交AB,AC于点F,G求证：AF=AG,证明：连接OD、OE，分别与AB、AC交于点M、N，由垂径定理，ODA

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