高考总复习《走向清华北大》精品课件42抛物线

1、第四十二讲第四十二讲 抛物线抛物线 回归课本回归课本 1.1.抛物线的定义抛物线的定义 平面内与平面内与一个定点一个定点F F和和一条直线一条直线l(Fl(F l)l)的距离的距离相等相等的点的轨的点的轨 迹叫做抛物线迹叫做抛物线. . 2.2.抛物线的标准方程和几何意义抛物线的标准方程和几何意义 考点陪练考点陪练 1.(20101.(2010湖南湖南) )设抛物线设抛物线y y2 2=8x=8x上一点上一点P P到到y y轴的距离是轴的距离是4,4,则则 点点P P到该抛物线焦点的距离是到该抛物线焦点的距离是( )( ) A.4A.4 B.6B.6 C.8C.8 D.12D.12 解析解析: :由抛物线的方程得由抛物线的方程得 再根据抛物线的定义再根据抛物线的定义 , ,可知所求距离为可知所求距离为4+2=6,4+2=6,故选故选B.B. 答案答案:B:B 4 2, 22 p 2.(2010)y8xF,l,P ,PAl,A.3, .4 3.8 . AF P 8 3 F . 6 ( 1 ) AB CD 辽宁 设抛物线的焦点为准线为为抛物 线上一点为垂足如果直线的斜率为那 么 解析解析:

2、 :如图如图, ,由直线的斜率为由直线的斜率为 得得 AFH=60AFH=60,FAH=30,FAH=30, , PAF=60PAF=60. .又由抛物线的定义知又由抛物线的定义知|PA|=|PF|,|PA|=|PF|, PAFPAF为等边三角形为等边三角形, ,由由|HF|=4|HF|=4得得|AF|=8,|AF|=8, |PF|=8.|PF|=8. 答案答案:B:B 3, 3.(20103.(2010陕西陕西) )已知抛物线已知抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的准线与圆的准线与圆(x(x- - 3)3)2 2+y+y2 2=16=16相切相切, ,则则p p的值为的值为( )( ) 解析解析: :由已知由已知, ,可知抛物线的准线可知抛物线的准线 与圆与圆(x(x- -3)3)2 2+y+y2 2=16=16 相切相切. .圆心为圆心为(3,0),(3,0),半径为半径为4,4,圆心到准线的距离圆心到准线的距离 解得解得p=2.p=2.故选故选C.C. 答案答案:C:C 1 1.2.4 2 ABCD 2 p x 34, 2 p d 4.4.若点若点P P到点到点F

3、(0,2)F(0,2)的距离比它到直线的距离比它到直线y+4=0y+4=0的距离小的距离小2,2,则则P P 的轨迹方程为的轨迹方程为( ( ) ) A.yA.y2 2=8x=8x B.yB.y2 2= =- -8x8x C.xC.x2 2=8y=8y D.xD.x2 2= =- -8y8y 解析解析: :由题意知由题意知,P,P到到F(0,2)F(0,2)的距离比它到的距离比它到y+4=0y+4=0的距离小的距离小2,2,因因 此此P P到到F(0,2)F(0,2)的距离与到直线的距离与到直线y+2=0y+2=0的距离相等的距离相等, ,故故P P的轨迹的轨迹 是以是以F F为焦点为焦点,y=,y=- -2 2为准线的抛物线为准线的抛物线, ,所以所以P P的轨迹方程为的轨迹方程为 x x2 2=8y.=8y. 答案答案:C:C 2 5.Py2x,P0,2 P 179 3. 5. 22 ( ) ABCD 已知点 是抛物线上的一个动点 则点 到点 的距离与 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 1117 ,0,0. 22 :,P , 2 0,2F 解析 据抛物线定义 点 到准线距离转化为

4、到焦点 的距离 故和的距离为 答案答案:A:A 类型一类型一 抛物线的定义抛物线的定义 解题准备解题准备: :利用抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦利用抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦 点和准线的距离相互转化点和准线的距离相互转化. .例如若点例如若点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )是抛物线是抛物线 y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的任一点上的任一点, ,则该点到抛物线的焦点则该点到抛物线的焦点F F的距离的距离 ( (焦半径公式焦半径公式),),这一公式的直接运用会为这一公式的直接运用会为 我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便. . 在求过焦点的一弦长时在求过焦点的一弦长时, ,经常将其转化为两端点到准线的距经常将其转化为两端点到准线的距 离之和离之和, ,再用根与系数关系求解再用根与系数关系求解, ,有时也把点到准线的距离有时也把点到准线的距离 转化为点到焦点的距离进行求解转化为点到焦点的距离进行求解. . 0 | 2 p PFx 【典例典例1 1】(1)(1)在抛物线在抛物线y y2 2=4

5、x=4x上找一点上找一点M,M,使使|MA|+|MF|MA|+|MF|最小最小, , 其中其中A(3,2),F(1,0),A(3,2),F(1,0),求求M M点的坐标及此时的最小值点的坐标及此时的最小值. . (2)(2)已知抛物线已知抛物线y y2 2=2x=2x和定点和定点 抛物线上有动点抛物线上有动点P,PP,P到到 点点A A的距离为的距离为d d1 1,P,P到抛物线准线的距离为到抛物线准线的距离为d d2 2, ,求求d d1 1+d+d2 2的最小的最小 值及此时值及此时P P点的坐标点的坐标. . 10 3, 3 A 解解 要求最小值问题要求最小值问题, ,可考虑抛物线的定义可考虑抛物线的定义, ,通过定义转化为通过定义转化为 “两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边” 这一结论这一结论. . (1)(1)如图如图, ,点点A A在抛物线在抛物线y y2 2=4x=4x的内部的内部, ,由抛物线的定义可知由抛物线的定义可知 ,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中其

6、中|MH|MH|为为M M到抛物线的准线的距到抛物线的准线的距 离离. .过过A A作抛物线的准线的垂线交抛物线于作抛物线的准线的垂线交抛物线于M M1 1, ,垂足为垂足为B,B,则则 |MA|+|MF|=|MA|+|MH|MA|+|MF|=|MA|+|MH|AB|=4(|AB|=4(当且仅当点当且仅当点M M在在M M1 1的位置的位置 时时),),此时此时M M点的坐标为点的坐标为(1,2).(1,2). (2)(2)如图如图, ,点点 在抛物线在抛物线y y2 2=2x=2x的外部的外部, ,由抛物线的定由抛物线的定 义可知义可知, , ( (其中其中F F为抛物线的为抛物线的 焦点焦点).).此时此时P P点的坐标为点的坐标为(2,2).(2,2). 10 3, 3 A 12 25 | 6 ddPAPFAF 反思感悟反思感悟 熟练掌握和灵活运用定义是解题的关键熟练掌握和灵活运用定义是解题的关键. .利用利用 抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距 离相互转化离相互转化. .例如若点例如若点P P0 0(x(x0 0

7、,y,y0 0) )是抛物线是抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的上的 任一点任一点, ,则该点到抛物线的焦点则该点到抛物线的焦点F F的距离的距离 ( (焦半径公式焦半径公式),),这一公式的直接运用会为我们求解有关到这一公式的直接运用会为我们求解有关到 焦点或准线的距离的问题带来方便焦点或准线的距离的问题带来方便. .在求过焦点的一弦长在求过焦点的一弦长 时时, ,经常将其转化为两端点到准线的距离之和经常将其转化为两端点到准线的距离之和, ,再用韦达定再用韦达定 理求解理求解, ,有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离 进行求解进行求解. . 0 | 2 p PFx 类型二类型二 求抛物线的方程求抛物线的方程 解题准备解题准备: :求抛物线的标准方程常用的方法是待定系数法求抛物线的标准方程常用的方法是待定系数法. .为为 避免开口方向不确定而设成多种形式的麻烦避免开口方向不确定而设成多种形式的麻烦, ,可以将焦点可以将焦点 在在x x轴上的抛物线的标准方程统一设为轴上的抛物线的标准方程统一设为y y2 2=ax(a0)

8、;=ax(a0);焦点焦点 在在y y轴上的抛物线的标准方程统一设为轴上的抛物线的标准方程统一设为x x2 2=ay(a0).=ay(a0). 【典例典例2 2】求下列各抛物线的方程求下列各抛物线的方程: : (1)(1)顶点在坐标原点顶点在坐标原点, ,对称轴为坐标轴对称轴为坐标轴, ,且经过点且经过点M(M(- -2,2,- -4);4); (2)(2)顶点在坐标原点顶点在坐标原点, ,焦点在焦点在y y轴上轴上, ,抛物线上一点抛物线上一点Q(m,Q(m,- -3)3)到到 焦点的距离等于焦点的距离等于5.5. 解解(1)(1)设抛物线为设抛物线为y y2 2=mx=mx或或x x2 2=ny,=ny,则则 ( (- -4)4)2 2=m(=m(- -2)2)m=m=- -8 8或或( (- -2)2)2 2=n(=n(- -4)4)n=n=- -1.1. 所求的抛物线方程为所求的抛物线方程为y y2 2= =- -8x8x或或x x2 2= =- -y.y. (2)(2)依题意依题意, ,抛物线开口向下抛物线开口向下, ,故设其方程为故设其方程为 x x2 2= =- -2py

9、.2py. 则准线方程为则准线方程为 又设焦点为又设焦点为F,F, 则则 故抛物线方程为故抛物线方程为x x2 2= =- -8y.8y. , 2 p y |,( 3)54. 22 Q pp QFyp 即 反思感悟反思感悟这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论,先先 入为主入为主,设定一种形式的标准方程后求解设定一种形式的标准方程后求解,以致失去另一解以致失去另一解. 类型三类型三 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 解题准备解题准备:1.:1.以抛物线的标准方程以抛物线的标准方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)为例为例, ,有如下有如下 几何性质几何性质: : 范围范围: :抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)开口向右开口向右, ,且向右上方和右下方且向右上方和右下方 无限延伸无限延伸; ;抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴x x轴轴, ,没有对称中心没有对称中心; ; 顶点顶点: :抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点, ,即坐标原即坐标原 点点. .顶点是焦点向准线所作垂线段的中点顶点是焦点向准线所作垂线段的中点; ;离心率离心率: :抛物抛物 线上的点线上的点M M与焦点的距离和它到准线的距离的比与焦点的距离和它到准线的距离的比, ,叫抛物线叫抛物线 的离心率的离心率,e=1.,e=1. 2.2.抛物线的每一条过焦点的弦被焦点分成两段焦半径抛物线的每一条过焦点的弦被焦点分成两段焦半径, ,由由 焦半径公式可推出抛物线的焦点弦长公式焦半径公式可推出抛物线的焦点弦长

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