理论力学3分析力学基础课后答案
17页1、 249第 3 章 分析力学基础 第 3 章 分析力学基础 3-1 如图 3-1a 所示,离心调速器以角速度绕铅直轴转动。每个球质量为 m1,套管 O 质量为 m2,杆重略去不计。OC = EC = AC = OD = ED = BD = a,求稳定旋转时,两臂 OA 和 OB 与铅直轴的夹角。 OxyIF Fg1mg2mg1mEB IFaaaaaa(a) (b) 图 3-1 解解 取整个系统为研究对象, 系统具有理想约束。 系统所受的主动力为 m1g、 m1g、 m2g, 假想加上 2 个小球的惯性力IF、FI,则 sin22 112 IIammEAFF= 取坐标系 Exy,则 sin2, 0ayxxABA=,cos2,sin2axayOB= 对相应坐标的变分 sin2cos2 ,cos2 , 0axayayxxOBABA =根据动力学普遍方程,有 0112II=+BAOBAxgmxgmxgmyFyF 把有关量代入上式,得 000)sin2()cos2(sin2)cos2(sin21122 12 1 =+gmgmagmaamaam因0 ,化简,得 gamm2 12 4cos= 3-2
2、 应用拉格朗日方程推导单摆的运动微分方程。分别以下列参数为广义坐标: (1) 转角; (2)水平坐标 x; (3)铅直坐标 y。 解解 取轴 x 为零势能面 (1)转角为广义坐标 小球势能 cosmglV= 小球动能 2)(21lmT&= 拉氏函数 cos2122mglmlVTL+=& 图 3-2 250代入拉格朗日方程,得 0sin2=+mglml& & 0sin=+lg& & (2)水平坐标 x 为广义坐标,此时有 22xly=, 22xlxxy =& 小球势能 22xlmgV= 小球动能 2222 22 21)(2xllxmyxmT=+=& 22 222221xlmgxllxmVTL+=&222xlxml xL =& &222222222222222)()(2)(ddxlmgx xlxxml xLxlxxml xlxml xL t=+=& & &代入拉格朗日期方程,有 0)(2222222222 = +xlxmgxlxlxmxll xm& &即 0)()(23 222222=+xlgxxxxxll& & (3)铅直坐标 y 为广义坐标,此时有 22ylx=, 22ylyyx =&
3、 小球势能 V = - mgy 小球动能 2222 22 21)(2yllymyxmT=+=& mgyylylmVTL+=22222&22222222222)(2)(dd,ylyyml ylyml yL tylyml yL += =& & & &mgylyyml yL+=22222)(&代入拉格朗日方程,得 0)(22222222 =+mgylylym ylyml& &则 0)()(2222222=+ylgyyyyll& & 3-3 质量为 m 的质点悬在 1 线上,线的另 1 端绕在 1 半径为 R 的固定圆柱体上,如图2513-3 所示。设在平衡位置时,线的下垂部分长度为 l,且不计线的 质量。求此摆的运动微分方程。 解解 取为广义坐标,设小球的静平衡位置为其零势能点。 系统势能 cos)()sin(RlRlmgV+= 系统动能 2)(21RlmT+=&拉氏函数 sin)()( cossin)(cos)()(2)()(dd)(cos)(sin )(21222222RlmgRlmRRRlRmgRlRmLRRlmRlmL tRlmLRlRlmgRlmVTL+=+=+=+=+=& &代入
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