本科毕业论：数形结合思想在解题中的应用

1、I目录目录摘要摘要1关键词关键词.1ABSTRACT1KEY WORDS.11 前言前言.22 数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用221 实数与数轴上的点的对应关系中的应用实数与数轴上的点的对应关系中的应用222 函数与图像的对应关系中的应用函数与图像的对应关系中的应用323 曲线与方程的对应关系中的应用曲线与方程的对应关系中的应用424 以几何关系和几何条件为背景建立起来的概念中的应用以几何关系和几何条件为背景建立起来的概念中的应用.525 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义中的应用所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义中的应用63 结束语结束语.7参考文献：参考文献：8致谢致谢81数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用汪  锦数学与信息学院数学与应用数学专业 2009 级 指导老师：赵勇摘要：数形结合是中学数学的基本思想方法之一。所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的对应关系和转换来解决数学问题的思想。它被广泛的运用在解决数学问题中。本文首先阐述了什么是数形结合，其次结合相关例题着重阐述数形结合思想的重要作

2、用及如何应用。这样不仅有利于学生顺利的、高效的学习数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍的效果，从而让学生体会到数学教学充满乐趣。关键词：数形结合思想；解题；应用；抽象；直观Application of the figure and shape combination in solving problemsWangjinCollege of Mathematic application; abstract; intuitive21 1  前言前言1964 年 1 月，我国数学界泰斗华罗庚老先生于谈谈与蜂房结构有关的数学问题一文中，有云：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离。为此“数形结合”从中诞生了。 “数形结合”一词的提出，在当时的数学界引起了轩然大波。数形结合是中学数学的基本思想方法之一。所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的对应关系和转换来解决数学问题的思想。只有深刻理解数形结合的实质，才能在

3、解决代数问题时想到它的几何图图形，从而启发思维，找到解题途径；或者在研究几何图形时利用代数的性质解决问题，实现抽象概念与具体形象的联系和转换，化难为易，化抽象为直观。数形结合常与以下的知识有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图像的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何关系和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如。53222yx在学生解决问题的诸多过程中，数形结合思想的优点，可谓是面面俱到。数形结合思想能提高学生的思维能力，特别是学生的迁移能力。通过数形结合的训练，可以丰富学生的表象，开拓思路。当然，运用数形结合思想，学生就可以通过多渠道解决问题，灵活多变，培养学生创新思想。所以，在解题中，要巧妙的运用数形结合的思想。这样，学生在解题的过程中会去的事半功倍的效果。值得注意的是，学生不能盲目的运用数形结合思想。要看清是否满足运用数形结合思想的条件。这样学生才能取得优异的成绩。2 2  数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用2 21 1 实数与数轴上的点的对应关系中的应用实数与数轴上的点的对应关系中的应用数轴

4、的引入是实数内容体现数形结合思想的有力证明，因为数轴上的点与实数是一一对应关系。因此两个实数大小的比较，可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断，相反数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划。例 1设集合 A=x-1-3,解集xx>-3.数轴表示：不等式解集为x-3<x<1.评注：利用数轴将实数与和直线上的点建立一一对应的关系。2 22 2 函数与图像的对应关系中的应用函数与图像的对应关系中的应用“数形结合”既是一种思想，又是一种方法，其实质是把抽象的数学语言与形象的图像结合起来，发挥图像的辅助作用，完成抽象概念和图形的互相转化，化难为易，化抽象为具体数形结合就一般方法而言，就是先作出数量关系所对应的函数图形，然后根据图像分析和解决问题例 1已知函数 f(x)=x2+2kx+3k.并且函数的零点是都在-1 到 3 之间。求 k 的取值范围.3解：f(x)=x2+2kx+3k，并且函数的零点是都在-1 到      3 之间。f(x)=0 的解在-1 到 3 之间。且图像与 x 轴交点的横坐标是方程 f(x)=0 的解。-

5、31 1332 xxx41251622 yx 0)2(0)3(0) 1(abfff由函数 f(x)=x2+2kx+3k 的图像可知，要想 f(x)=0     的解在-1 到 3 之间，只需    -1<k<0,故 k(-1,0). 评注：观察图形主要是观察图形的大小、形状、位置关系等。寻找图形中蕴含的数量关系，运用推理或计算得出结论。这是数形结合分析，解决问题的一个重要方面。利用数形的直观性来讨论函数的值域（或最值） ，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考察划归转换能力，逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。例 2已知函数 f(x)=x2+bx+c ,都有 f(2-t)=f(2+t),则 f(1),f(-3)，f(4)由大到小的次序是_。4解：由 f(2-t)=f(2+t)可知，f(x)的图像关于直线 x=2 对称，又f(x)=x2+bx+c 是二次函数，其图像是开口向上的抛物线，由 f(x)的图像易知 f(1),f(-3)，f(4)的大小关系是：f(1)< f(4)< f(-3).评注：本题不仅需要对二次函数的性

6、质能够灵活运用，借助于图像研究函数的性质，而且能将函数图像的几何特征与数量特征紧密连接起来进行研究。体现了数形结合的特征与方法。恰当使用数形结合思想，不仅轻易直观的发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，很大程度上简化了解题过程。2 23 3 曲线与方程的对应关系中的应用曲线与方程的对应关系中的应用曲线和方程是解析儿何中最重要的基本概念.如曲线上任意的点的坐标都是方程的解；并且以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫曲线的方程;这条曲线叫方程的曲线.这类题常常以数形结合思想解决。51251622yx1251622 yx125163 22yxbxy1162522 yx4821|21|2MFONz z12例 1已知 x,y 满足，          求 y-3x 的最大值与最小值。5解：对于二元函数 f(x,y)=y-3x 在限定条件下求最值问题，通常采用构造直线的截距的方法来求解。令 y-3x=b,则 y=3x+b，原问题转换成:在椭圆            

7、    上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在 y 轴上的截距最大或最小。由图知，当直线 y=3x+b 与椭圆           相切时，有最大截距与最小截距。由           ，得 169x2+96bx+16b2-400=0.由=0，  b=13,y-3x 的最大值是 13，最小值是-13.评注：解析几何的基本思想就是数形结合思想，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线及相互关系的研究中。例 2点 M 是椭圆            上的一点，它到其中一个焦点的距离为1F2，N 为 M的中点，O 表示原点，则OM=（） 。1F解：设椭圆另一焦点为 F2， （如图） ，                 则，而| |MFMFaa1225又注意到|MFMF1228，N、  O   各为

8、 MF1、F1F2的中点，ON 是MF1F2的中位线，  2 24 4 以几何关系和几何条件为背景建立起来的概念中的应用以几何关系和几何条件为背景建立起来的概念中的应用根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来.其思想方法可以使某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.例 1. 设|z1|5，|z2|2, |z1z2|13，求   的值。解：如图，设 z1OA、z2OB后，则z1OC、z2OD如图所示。1251622 yx6BPAPkyk 00显然，4 55213 252222() 5 24 53 53 2的值域。求函数2cos2sin xxy1212 2cos2sin xxyyyxxy的形式类似于斜率公式的直线斜率，表示过两点)sin(cos)22(2cos2sin 0xxPPxxy3741 1|22|2，解得则有 k kk 374 37400BPAPkk，即374 374y374 374，函数值域为由图可知，|z z12|5 2，AODBOC，  

9、;   由余弦定理得：cosAOD                   z z12  (   )2     评注：利用复数的几何意义结合数形结合思想解决问题是一种不错的方法。例题 2.                         5解：                                                     221Pxy由于点在单位圆上，如图,设过的圆的切线方程为Pyk x022()评注：这里把函数最值问题转换为直线斜率的最值问题，利用直线

10、与圆的图求解。2 25 5 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义中的应用所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义中的应用从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数式或等式，用图形来展示代数式的几何意义，体现数形结合的思想。例 1.过圆 M：(x-1)2(y-1)2=1 外一点 P 向此圆作两条切线，当这两切线互相垂直时，求动点 P 的轨迹方程【分析】    本题一般用参数法去解，但运算量大且有一定的技巧，不易求解如果运用数形结合的观点，仔细观察图形的性质，不难发现动点 P 是正方形 PT1MT2的顶点，因此|PM|是定值，立得简捷解法如下y    ADO   B        xC7解：如图所示，设切点为 T1、T2，连结 MT1、MT2、PM，则MT1T1P，MT2PT2，T1PPT2，且|PT1|=|PT2|，那么 MT2PT1  是正方形，      设动点 P(x，y)，则(x1)2+(y-1)2=2，这就是所求的轨迹方程评注：观察等式的特点，转换成几何情况。利用数形结合思想快熟、简便。例 2设关于 x 的不等式的解集为 A，且 Ax0<x2，xaxx) 1(42求 a 的值集解:为半径的半圆(如图所示)，而 y=(a-1)x 是过原点的直线束问题转化为：求半圆在动直线上方且0x2 时，a 的值集?易得 a-11，即 a2a 的值集为a|a2评注：将不等式转换成熟悉的几何图形，利用几何图形解决问题是数形结合的一种重要途径。3 3  结束语结束语数形结合的思想是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考虑的思想。 “数”和“形”的正确转化，在解决问题中会取得事半功倍的效果。但是在解题的过程中学生应该注意以下几点：（1）正确绘制需要的图形，尽量反应图形中对应的数量关系；（2）正确把握

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