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9-4高等数学同济大学第六版本

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1、习题 941 求球面 x2y2z2a2 含在圆柱面 x2y2ax 内部的那部分面积解位于柱面内的部分球面有两块其面积是相同的由曲面方程 z 得 2az2yxayz于是 dxyAaxy2 2)(1 dxa220cos24d)()sin(402 求锥面 z 被柱面 z22x 所割下的部分的曲面的面积yx解由 z 和 z22x 两式消 z 得 x2y22x 于是所求曲面在 xOy 面2上的投影区域 D 为 x2y22x 由曲面方程得 2y2yx于是 dxzAyx1)(22)( 1)(2dyx3 求底面半径相同的两个直交柱面 x2y2R2 及 x2z2R2 所围立体的表面积解设 A1 为曲面相应于区域 D x2y2R2 上的面积则所求表面2xRz积为 A4A1dyxD2)( dxyD220)(14 R24 221682 RxRxR4 设薄片所占的闭区域 D 如下求均匀薄片的质心 (1)D 由 xx0 y0 所围成 py 解令密度为 1 因为区域 D 可表示为所以pxyx20 , 3002ddxyAp 00025211xpxAyxpD 000283yddAyp所求质心为

2、)83 ,5(0x(2)D 是半椭圆形闭区域 0 ,1 |),(2ybaxy解令密度为 1 因为闭区域 D 对称于 y 轴所以 x(椭圆的面积) bdxyAD2 34)(211202 bdxabAydxab 所求质心为 )34,0(b(3)D 是介于两个圆 racos rbcos(0ab)之间的闭区域解令密度为 1 由对称性可知 0y(两圆面积的差 ) )4)2(2bdxyAD )(cos1 20 badrdba所求质心是 ),(2ba 5 设平面薄片所占的闭区域 D 由抛物线 yx2 及直线 yx 所围成它在点(x y)处的面密度 (x y)x2y 求该薄片的质心解 351)(1, 064102 dddMxD 48)(2),(1 07032 xMyyxxx 53)(11),( 0502 dddyxD质心坐标为 543 ,8(6 设有一等腰直角三角形薄片腰长为 a 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方求这薄片的质心解建立坐标系使薄片在第一象限且直角边在坐标轴上薄片上点( x y)处的函数为 x2y2 由对称性可知 yx 40261)(),( addMaD

3、 yxMxyyxa52)(1),(102薄片的质心坐标为 52 ,a7 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度 1) (1)z2x2y2 z1 解由对称性可知重心在 z 轴上故 0yx(圆锥的体积) 3dvV 431201rzdz所求立体的质心为 )43,( (2) (Aa0) z0 2yxAz2yxaz解由对称性可知重心在 z 轴上故 (两个半球体体积的差) 32323advV )(83cosin1cosin1 42002 aAdrdVdrrz 所求立体的质心为 )(83 ,04aA(3)zx2y2 xya x0 y0 z0 解 ddV02xdy2)( a32)(1)( 461a xdvVadzyxax524002 y52 zdvV1axyzd002237a所以立体的重心为 )37,52(8 设球体占有闭区域 (x y z)|x2y2z22Rz 它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方试求这球体的质心解球体密度为 x2y2z2 由对称性可知质心在 z 轴上即 0yx在球面坐标下可表示为于是cos20, ,0Rr 20cos202sinR

4、drddvM 2055csi3R51320cos205in1Rdrdzvz rRM415328cosi642607故球体的质心为 . )5, (9 设均匀薄片(面密度为常数 1)所占闭区域 D 如下求指定的转动惯量 (1) 求 Iy1 |),2byaxD解积分区域 D 可表示为 2 , xa于是 abxaaDy dxbdyxdI 2222 ba341提示 42042 8sin i ttxa (2)D 由抛物线与直线 x2 所围成求 Ix 和 Iy y9解积分区域可表示为 /32/ ,0x于是 572203/0 dxdydyIDxx 796205/320 dxydxyxIDy(3)D 为矩形闭区域 (x y)|0xa 0yb 求 Ix 和 Iy解 31202yIbax 022 badyxdIDbay 10 已知均匀矩形板(面密度为常量 )的长和宽分别为 b 和 h 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量解取形心为原点取两旋转轴为坐标轴建立坐标系 3221bhdyxdyIhDbx 322yxxyI hby 11 一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域由

5、曲面 zx2y2 和平面 z0 |x|a |y|a 所围成 (1)求物体的体积解由对称可知ayxdzV024 40328)(4)( adxad(2)求物体的质心解由对称性知 yxayxzddVzvMz00241axd02)(2 20523417)(2adxaxV(3)求物体关于 z 轴的转动惯量解 yxz dzvyI00222)()( adxd044)664518a12 求半径为 a、高为 h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度 1)解建立坐标系使圆柱体的底面在 xOy 面上 z 轴通过圆柱体的轴心用柱面坐标计算 dzrdvyxIz 32)( 4200321hadra13 设面密度为常量的匀质半圆环形薄片占有闭区域求它对位于 z 轴上点 M0(0 0 a)(a0)处单0 ,|)0,(21xRyxyxD位质量的质点的引力 F 解引力 F(Fx Fy Fz ) 由对称性 F y0 而DxdaG2/3222/321)(cosR ln21212aRaGDzyxdF/3)(2/321)(dG 122aRa 14 设均匀柱体密度为占有闭区域 (x y z)|x2y2R2 0zh 求它对于位于点 M0(0 0 a)(ah)处单位质量的质点的引力解由柱体的对称性可知沿 x 轴与 y 轴方向的分力互相抵消故 FxFy0 而dvzayxGFz 2/32)(2 2/30 )()(Ryxh zaxydz02/30 )()(hrdaGh zaRz02)(1)(2 )(2

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