1995年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

1、第 1 页 共 16 页19951995 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题卷真题卷 数学数学( (一一) )试题试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)2 sin0lim(1 3 )xxx _.(2)202cos xdxt dtdx_.(3) 设()2a bc ,则() () ()abbcca_.(4) 幂级数2112( 3)n nn nnx 的收敛半径R _.(5) 设三阶方阵A、B满足关系式：16A BAABA,且1003 1004 1007A ,则B _.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 设有直线3210,:21030xyzLxyz 及平面:4230xyz,则直线L()(A) 平行于(B) 在上(C) 垂直于(D) 与斜交(2) 设在0,1上( )0fx,则(0)f 、(1)f 、(1)(0)ff或(0)(1)ff的大小顺序是()(A)(1)(0)(1

2、)(0)ffff(B)(1)(1)(0)(0)ffff(C)(1)(0)(1)(0)ffff(D)(1)(0)(1)(0)ffff(3) 设( )f x可导,( )( )(1 |sin|)F xf xx,则(0)0f是( )F x在0x 处可导的()(A) 充分必要条件(B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件(D) 既非充分条件又非必要条件第 2 页 共 16 页(4) 设1( 1) ln 1n nun ,则级数()(A)1n nu与21n nu都收敛(B)1n nu与21n nu都发散(C)1n nu收敛而21n nu发散(D)1n nu发散而21n nu收敛(5) 设111213212223313233aaaAaaaaaa ,212223111213311132123313aaaBaaaaaaaaa ,1010100001P ,2100010101P ,则必有()(A)12APPB(B)21AP PB(C)12PP AB(D)21P PAB三、三、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1010 分分.).)(1) 设2

3、( , , ), (, )0,sinyuf x y zx ezyx,其中f、都具有一阶连续偏导数,且0z,求du dx.(2) 设函数( )f x在区间0,1上连续,并设10( )f x dxA,求110( ) ( ) xdxf x f y dy.第 3 页 共 16 页四、四、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 6 6 分分, ,满分满分 1212 分分.).)(1) 计算曲面积分zdS,其中为锥面22zxy在柱体222xyx内的部分.(2) 将函数( )1(02)f xxx展开成周期为 4 的余弦级数.第 4 页 共 16 页五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设曲线L位于xOy平面的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知MAOA,且L过点3 3,2 2,求L的方程.六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设函数( , )Q x y在xOy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2( , ) LxydxQ x y dy与路径无关,并且对任意t恒有( ,1)(1, )(0,0)(0,0)2( , )2( , )ttxydx

4、Q x y dyxydxQ x y dy,求( , )Q x y.第 5 页 共 16 页七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )假设函数( )f x和( )g x在 , a b上存在二阶倒数,并且( )0gx,( )( )( )( )f af bg ag b,试证：(1) 在开区间( , )a b内( )0g x ；(2) 在开区间( , )a b内至少存在一点,使( )( ) ( )( )ff gg .八、八、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设三阶实对称矩阵A的特征值为11 ,231,对应于1的特征向量为1(0,1,1)T,求A.第 6 页 共 16 页九、九、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设A是n阶矩阵,满足TAAE(E是n阶单位阵,TA是A的转置矩阵),0A ,求AE.十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分.).)(1) 设X表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则2X的数学期望2()E X_.(2) 设X和Y为两个随机变量,且30,0

5、7P XY,4(0)(0)7P XP Y,则max(, )0PX Y _.十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设随机变量X的概率密度为, 0,( )0, 0,xXexfxx求随机变量XYe的概率密度( )Yfy.第 7 页 共 16 页19951995 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题卷真题卷 数学数学( (一一) )试题参考答案及解析试题参考答案及解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】6e【解析】这是1型未定式求极限,2123sin3sin00lim(1 3 )lim(1 3 )xxxxxxxx,令3xt,则当0x 时,0t ,所以11 300lim(1 3 )lim(1)xtxtxte ,故00266lim6lim6sinsinsinsin00lim(1 3 )limxxxxx xxxxxxxeeee.(2)【答案】20224cos2cos xt dtxx【解析】220022coscos xxddxt dtxt dtdxdx20

6、222coscos2 xt dtxxx20224cos2cos xt dtxx.【相关知识点】积分上限函数的求导公式： xxdf t dtfxxfxxdx.(3)【答案】4【解析】利用向量运算律有() () ()abbcca() ()() ()abbcaabcca() ()() ()a bb bcaa cb cca (其中0b b )()()()()a bca baa ccb ca ()()a bcb ca ()()4a bca bc .(4)【答案】3第 8 页 共 16 页【解析】令21 2( 3)n nnnnax ,则当n 时,有2(1) 1 11 12122 1 111 2( 3)limlim2( 3)23( 1)311lim,323( 1)3n nn nnnnn nnn nnnn nnnxaanxnxxn 而当2113x 时,幂级数收敛,即|3x 时,此幂级数收敛,当2113x 时,即|3x 时,此幂级数发散,因此收敛半径为3R .(5)【答案】300020001 【解析】在已知等式16A BAABA两边右乘以1A,得16A BEB,即1()6AE BE.因为13000400

7、07A ,所以116()6BAE1200030006 =300020001 .二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(C) 【解析】这是讨论直线L的方向向量与平面的法向量的相互关系问题.直线L的方向向量132281477(42)2110ijklijkijk ,平面的法向量42nijk,ln,L .应选(C).(2)【答案】(B)第 9 页 共 16 页【解析】由( )0fx可知( )fx在区间0,1上为严格单调递增函数,故(1)( )(0),(01)ffxfx由微分中值定理,(1)(0)( ),(01)fff.所以(1)(1)(0)( )(0)fffff,(01)故应选择(B). (3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.充分性:因为(0)0f,所以0000( )(1sin)( )(0)( )( )(0)limlimlimlim(0) xxxxf xxF xFf xf xffxxxx,由此可得( )F x在0x 处可

8、导.必要性:设( )F x在0x 处可导,则( ) sinf xx在0x 处可导,由可导的充要条件知00( ) sin( ) sinlimlim xxf xxf xxxx.根据重要极限 0sinlim1 xx x,可得00sinsinlimlim1 xxxxxx , 00sinsinlimlim1 xxxxxx,结合,我们有(0)(0)ff ,故(0)0f.应选(A).(4)【答案】(C)【解析】这是讨论1n nu与21n nu敛散性的问题.111( 1) ln 1n n nnun是交错级数,显然1ln(1)n单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.正项级数22111ln1n nnun中,2 22111ln1nunnn.根据正项级数的比较判别法以及11nn发散,21n nu发散.因此,应选(C).【相关知识点】正项级数的比较判别法：第 10 页 共 16 页设1n nu和1n nv都是正项级数,且lim,nnnvAu则 当0A 时,1n nu和1n nv同时收敛或同时发散； 当0A 时,若1n nu收敛,则1n nv收敛；若1n nv发散,则1n nu发散； 当A 时,若1n nv收敛,则1n nu收敛；若1n nu发散,则1n nv发散.(5)【答案】(C)【解析】1P是交换单位矩

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