广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题（一）2013广州一模 含答案

试卷类型：A2013 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答 .漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式： 如果事件 相互独立,那么 .ABPABPB线性回归方程 中系数计算公式 ，ybxa 12niiiiixybaybx()(), 其中 表示样本均值.x,一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集 ，集合 ， ，则12346U,,13A,24B,A． B．BUAðC． D．UðU2. 已知 ，其中 是实数，i 是虚数单位，则 i1abiia, abA． i B． i C． i D． i 22212AB水流方向侧1侧侧侧2 211 23．已知变量 满足约束条件 则 的最大值为xy, 210xy,.2zxyA． B． C． D． 34. 直线 截圆 所得劣弧所对的圆心角是30xy24xyA． B． 63C． D． 225. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1，则该几何体的体积是A． B． C. D. 3136. 函数 是yxxsincosincosA．奇函数且在 上单调递增 B．奇函数且在 上单调递增 02, 2,C．偶函数且在 上单调递增 D．偶函数且在 上单调递增 , ,7．已知 e 是自然对数的底数，函数 e 的零点为 ，函数fx2aln2gx的零点为 ，则下列不等式中成立的是bA． B. 1fafb1fafbfC. D. a8．如图 2，一条河的两岸平行，河的宽度 m，60d一艘客船从码头 出发匀速驶往河对岸的码头 .B已知 km，水流速度为 km/h, 若客船行AB12驶完航程所用最短时间为 分钟，则客船在静水中6的速度大小为A． km/h B． km/h 图 282C． km/h D． km/h 23410 侧3ODCBA二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（9～13 题）9. 不等式 的解集是 .1x10． d .10cos11．某工厂的某种型号的机器的使用年限 和所支出的维修费用 (万元)有下表的统计资xy料：根据上表可得回归方程 ，据此模型估计，该型号机器使用年限为 10 年时ˆˆ1.23yxa维修费用约 万元（结果保留两位小数） ． 12．已知 ，函数 若函数 在 上的0a,1xfa,fx02,最大值比最小值大 ，则 的值为 . 52a13. 已知经过同一点的 N 个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n(3*,)个平面将空间分成 个部分，则 ， .nfffn（二）选做题（14～15 题，考生只能从中选做一题）14． （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点 ，点 在直线 上运动，当线段32,ABcos3in0最短时，点 的极坐标为 ． AB15． （几何证明选讲选做题）如图 3， 是 的直径， 是 的切线， 与 交于点 ，OABCOACA若 ， ，则 的长为 ．BC165D三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16． （本小题满分 12 分）已知函数 （其中 ， ， ）的最大值为 2，最小()sin()4fxAxxR0Ax2 3 4 5 62.2 3.8 5.5 6.5 7.0 侧4A BCA1 C1B1DE正周期为 .8（1 ）求函数 的解析式；()fx（2 ）若函数 图象上的两点 的横坐标依次为 ， 为坐标原点，求△ ,PQ2,4OPOQ的面积.17． （本小题满分 12 分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为 ，乙，丙做对的概率分别为12， ( ＞ )，且三位学生是否做对相互独立.记 为这三位学生中做对该题的人数，mn 其分布列为： 0 1 2 3P4ab14(1) 求至少有一位学生做对该题的概率；（2) 求 ， 的值；mn（3) 求 的数学期望.18． （本小题满分 14 分）如图 4，在三棱柱 中，△ 是边长为 的等边三角形，1ABCABC2平面 ， ， 分别是 ， 的中点. 1ADE1（1 ）求证： ∥平面 ；1（2 ）若 为 上的动点，当 与平面 所成最大角的正切值为 时，H1BCH1AB152求平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值.AD19． （本小题满分 14 分）已知数列 的前 项和为 ，且 N .{}nanS123(1)2(nnaaS*)(1) 求数列 的通项公式；（2）若 是三个互不相等的正整数，且 成等差数列，试判断pqr, pqr,是否成等比数列？并说明理由.11raa,20． （本小题满分 14 分）已知椭圆 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 ， ，点 在椭1C1(2,0)F2,(2,3)A圆 上，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，抛物线 在点AL2:4CxyBC,处的切线分别为 ，且 与 交于点 .B, 12l,1l2P(1) 求椭圆 的方程；1C(2) 是否存在满足 的点 ? 若存在，指出这样的点 有几个1212PFAF P（不必求出点 的坐标）; 若不存在，说明理由.21． （本小题满分 14 分）已知二次函数 ，关于 的不等式21fxaxmx21fxm的解集为 ，其中 为非零常数.设 .,1fxg（1）求 的值；a（2） R 如何取值时，函数 存在极值点，并求出极k() xkxln值点；（3）若 ，且 ，求证： N .1mx0112nnngg( *)2013 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题 5分，满分40 分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B C D A C A B 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中 14~15 题是选做题，考生只能选做一题．9． 10． 11． 12． 或 13．8 ，1,21sin12.3812n14． 15．16,4说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是： Z .126k,()三、解答题：本大题共6小题，满分 80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16． （ 本小题满分12 分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵ 的最大值为2，且 ， ∴ . ()fx0A 2A……………1分∵ 的最小正周期为 ， ∴ ，得 . ()fx828T4……………2 分∴ ()2sin()4fx. ……………3 分（2 ） 解法 1：∵ ， ()si2cos4f ……………4 分， (4)2sinsin4f……………5 分∴ .(,)(,)PQ∴ . 623,2OO……………8 分∴ . 222222633cosPQ………10 分∴ . 21OQOsincos63……………11 分∴△ 的面积为P1663222SPQsin.32……………12 分解法 2：∵ ， ()sin2cos4f……………4 分， (4)sisinf……………5 分∴ . （苏元高考吧：www.gaokao8.net）(2,)(,2)PQ∴ . (2,)(4,2)OPQ……………8 分∴ . ……………1063coscs, 2OPQ分∴ . 21POQsincos63……………11 分∴△ 的面积为 1663222SPOQsin.32……………12 分解法 3：∵ ， (2)sin2cos4f……………4 分， (4)sisif