第二章——建模方法示例
40页1、第二章 建模方法示例2.1 棋子颜色的变化2.1.1. 问题描述任意拿出黑白两种颜色的棋子共 n 个,排成如图 2.1.1 所示的一个圆圈.然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来的棋子.再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢?请研究不同的 n 对应的规律.2.1.2. 基本假定 若两个图可以通过旋转某个角度后重合, 则认为它们是等价的.2.1.3. 建立模型首先,为了探索棋子颜色的变化规律,我们建立棋子颜色与实数的对应关系,因为“同色为黑,不同色为白” ,正好与实数中“同号乘积为正,异号乘积为负” 对应.于是建立“黑对应+1,白对应-1”的对应关系 .这样我们就可用棋子的对应“值”图2.1.1表示其颜色了.设 aj 表示第 j 个棋子的初值(+1 或-1),j=1,2,n, 每个棋子的值就是上一步相邻的两个棋子的值之积,为观察每步的变化规律,以 n=5 为例看看 .表 2.1.1初 值 1a2a3a4a5a第 1 步 23451第 2 步 132423524125第 3
2、 步 24a35a41a35a31a第 4 步 61354621635246124652第 5 步 50241505321043505341053发现规律了吗? 第 i 步的指数恰好是二项式 展开式的系数(杨辉三角形)iab一般地,第 i 步第 j 个棋子的值为, (i,j=1,2,3,n),012(,) iiiiCCjjjjfijaa当然下标的值是关于模 n 计算的. 2.1.4. 寻找规律通过对 f(i,j)的分析便可以知道棋子颜色的变化规律, 并且说明其原理.(1)无论棋子数 n 如何,初态如何, 变化最终总是周期性的.这是因为 n 个棋子的布局只有有限种, 且每步的变化规则是相同的.从而每步的布局由上一步的布局唯一确定.(2) 无论棋子数 n 如何, 初态如何, 每一步的白子数如果大于零,则总是偶数.因为每步可以把上一步视为初态, 故只需说明从初态到第一步的变化规律.若初值中有 s 个 -1, 且没有任两个相邻,则第一步就有 2s 个 -1.例如, n=8, ,其余为 1, 则2471a.123456781aaa若初值中有 s 个 -1, 且其中有 t 个相邻间隔,则第一步就有
3、 2s-2t 个 -1.例如, n=8, , 其余为 1, 则其中有 3 个相邻间125681aa隔: . 只有 , 其余为 1.125681, , a:23456781a(3) 当 (m=1,2,)时,第 n 步全部棋子黑色,即n(,),2)fjj如果对 m 应用数学归纳法及其利用组合公式 1 112220mmmkkkjkjjCC可以证明 都是偶数, 故2(1,)mkn,(j=1,2,n)12 2(,) 1nCjjjnjfnjaa(4) 当 (m=1,2,)时,第 n+1 步与第 1 步等价2, (j=1,2,n)12111(1,) )nCjjjnjfnjaaaf例如 n=7 时, 第 8 步与第 1 步等价.(5) 当 (m=1,2,)时,第 n-1 步与第 1 步等价21n, (j=1,2,n)121(,) (,)nCjjjnjfaafj例如 n=9 时, 第 8 步与第 1 步等价.2.2 商人们怎样安全过河2.2.1 问题描述三名商人各带一个随从乘船渡河,现此岸有一小船只能容纳两人,由他们自己划行.随从们密谋,在河的任一岸,一旦随从比商人多,就杀人抢劫.但是如何乘船渡河的大权
4、由商人们掌握.商人们怎样才能安全过河?此类问题当然可以通过一番思考,拼揍出一个可行方案来.但是,我们现在希望能找到求解这类问题的规律性,这有利于编程和推广应用.2.2.2 模型的假设模型已理想化,不必再作假设.2.2.3 模型的构成此问题可视为一个多步决策问题,每一步就是一次渡河,每次渡河就是一次状态转移.1. 未考虑船时的安全状态设(x,y)表示此岸有 x 个商人和 y 个随从的状态,商人们安全是指在两岸都安全,故当 x=0,3 时,y=0,1,2,3 均可,而当 x=1,2 时,此岸要求 xy,对岸要求 3-x3-y, 综合即 x=y安全状态= 0,123 0,3y12x当当从而此岸在以下状态时,商人们在两岸都安全 (3,3) (3,2) (3,1) (3,0) (2,2)(1,1) (0,3) (0,2) (0,1) (0,0)2. 考虑船时此岸的安全状态用(x,y,z )表示此岸的状态,x,y 的含义同前,z 表示此岸的船数.即 z=1 时,船在此岸,z=0 时,船在对岸.此岸的安全状态有:(3,3,1) (3,2,1) (3,1,1) (2,2,1) (3,0,1) (0,3
《第二章——建模方法示例》由会员壹****1分享,可在线阅读,更多相关《第二章——建模方法示例》请在金锄头文库上搜索。
2021年秋期pep四年级英语上教学计划
南京社会医疗抗菌药物临床应用专项整治活动督导检查评分表必查表
童装商业策划书
Eutvhy主要专业资格证书考试指南
大学生学生会青年志愿者申请书
绿色低碳产业园区公司治理与内部控制计划【范文】
美容师2020年终工作总结
《孙权劝学》复习资料(已整)word版本
东北师范大学21春《社会心理学》离线作业一辅导答案42
安全施工措施交底记录
垂直墙壁置物产品项目产业基金申请报告-(参考范文)
小学四年级班主任工作总结样本(5篇)
精品资料2022年收藏经营权转让协议范本3篇
浅谈细节入手因地制宜-浅谈农村小学生行为养成教育的论文
上册八年级物理教学工作总结
机械设备的安全防范
2023文员月工作总结(3篇).doc
抚州市关于成立培育新型消费公司可行性研究报告【参考范文】
人力资源寒假实习总结评语
现代项目管理简答题和论述题汇总
2024-04-28 3页
2024-04-28 7页
2024-04-28 8页
2024-04-28 5页
2024-04-28 3页
2024-04-28 4页
2024-04-28 4页
2024-04-25 30页
2024-04-25 22页
2024-04-25 7页