第八章3 矩阵积分

,哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,课前预习、课中提高效率、课后复习,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,授课预计 (10学时),第八章 矩阵分析,矩阵的Kronecker积,函数矩阵的微分,函数矩阵的积分,矩阵微分方程的求解,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2, 理解函数矩阵的微分与积分定义； 掌握数量值函数 与矩阵值函数关于矩阵变量的导数；,4, 了解一阶矩阵微分方程的一般形式和性质；掌握利用矩 阵函数求解此类微分方程的方法。,重点: 克罗内克积的概念；函数矩阵的微分；矩阵微分 方程求解。 难点: 数量值函数与矩阵值函数关于矩阵变量的导数,1，理解和掌握矩阵的克罗内克积的概念和性质；,3，理解和掌握函数矩阵的极限、连续性和积分的定义、性 质和计算；,从定义1和定义2可知，函数矩阵的极限其实就是其每个位置元素的极限和连续性。因此，不难验证与高等数学中函数的极限一样，函数矩阵的极限具有如下性质。,函数矩阵的性质:,高等数学中函数的和、常数（常数矩阵）与函数矩阵的乘积、分部积分法、变上限函数、导数的积分法则适用于函数矩阵的积分,（1）,（2）,，,其中，,，,故有,从而有,证明：由,同样的不难得出,解答,下面求 。由伴随矩阵公式可得,所以,再求：,由于,练习2：已知函数矩阵,试求,解答：,同样可以求得,已知函数矩阵,试计算：,n个m维向量值函数，若存在n个不全不为零的实常数,使得对于所有ta,b，下述等式成立，,则称这n个向量值函数组成的向量值函数组是线性相关的，否则称它是线性无关的 。,从定义中我们可以看出，常数向量组线性无关性判别方法不能用来判断函数向量组。,n个m维向量值函数，若对任意i和j，下述积分都存在，,则称,为该向量值函数组的Gram(克兰姆)矩阵，detG称为该向量函数组的Gram(克兰姆)行列式。,Gram行列式detG0，即Gram矩阵可逆。,定理3 向量值函数组 线性无关,定理2给出了判断向量值函数组线性相关性的判定方法，如果根据定义3判断一组向量值函数组的线性相关性是很困难的。因为它需要判断该在区间上每一点函数组都是线性相关的。而定理2只要判定常数矩阵是否可逆就可以了。,例3 设 ，讨论其线性相关性。,故 时，detG0,解答：,于是其Gram矩阵为,线性无关,当函数组满足可积条件时，应用定理2判定函数向量组的线性无（相）关，十分方便。但函数的积分有时也是会遇到困难的。下面讨论用微分的方法判断函数向量组的线性相关性。,定义6 设 为区间a,b上的r维向量值函数组，记,为 在a,b上的Wronsky(朗斯基)矩阵。,则称,定理4 若存在 ，使,则行向量值函数组 在a,b上线性无关。,例4 讨论 的线性相关性。,解答：,Good,Bye,