高考数学一轮复习 6.2 等差数列及其前n项和精品课件 新人教版A

1、要点梳理 1.等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的 通项公式是 .,6.2 等差数列及其前n项和,从第二项起每一项与它相邻前面一项,的差是同一个常数,公差,d,an=a1+（n-1）d,基础知识 自主学习,3.等差中项 如果 ，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am+ ，（n， mN*）. （2）若an为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m， nN*），则 . （3）若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等 差数列，公差为 . （4）若an，bn是等差数列，则pan+qbn是 .,2d,ak+al=am+an,(n-m)d,等差,数列,（5）若an是等差数列，则ak，ak+m， ak+2m，（k，mN*）是公差为 的等差数列. 5.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn= 或Sn= . 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= . 数列an是等差数列的充要条件

2、是其前n项和公式Sn=f（n）是n的 ，即Sn= .,md,An2+Bn，（A2+B20）,二次函数或一次函数且不含常数,项,7.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值；若a10,d0,则Sn存在最 值. 8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质 （1）若an是等差数列，则 也成 数列， 其首项与an首项相同，公差是an公差的 . （2）Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项， 前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成 数列.,小,等差,等差,大,（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为2n，则S偶-S奇= ， = . 若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇= an，S奇- S偶= ， (4)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间 的关系为： = .,nd,n,an,基础自测 1.（2009辽宁文，3）an为等差数列，且a7- 2a4=-1,a3=0,则公差d=（） A.-2 B. C. D.2 解析 根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1, a1=1.又a3=a1+2d=0,d=,B,2.已知数列an中,a1=

3、1, 则a10等于（ ） A. B. C. D.以上都不对 解析 由a1=1, 得 为等差数列. ,B,3.（2009福建理，3）等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于（） A.1B. C.2D.3 解析 设an首项为a1,公差为d, 则S3=3a1+ d=3a1+3d=6, a3=a1+2d=4,a1=0,d=2.,C,4.已知等差数列an的前13项之和为39，则a6+a7+a8 等于（） A.6B.9C.12D.18 解析 由S13= =13a7=39得a7=3， a6+a7+a8=3a7=9.,B,5.设Sn是等差数列an的前n项和，若 则 等于（） A.1B.-1C.2D. 解析 由等差数列的性质，,A,题型一 等差数列的判定 【例1】已知数列an的通项公式an=pn2+qn (p、qR，且p、q为常数). （1）当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列； （2）求证：对任意实数p和q,数列an+1-an是等差数 列. (1)由定义知,an为等差数列,an+1-an 必为一个常数. (2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数.

4、,思维启迪,题型分类 深度剖析,(1)解 an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn) =2pn+p+q, 要使an是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的 常数,所以只有2p=0,即p=0, . 故当p=0 , 时，数列an是等差数列. (2)证明 an+1-an=2pn+p+q, an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, (an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数. an+1-an是等差数列.,探究提高 证明或判断一个数列为等差数列,通常有两种方法:(1)定义法:an+1-an=d;(2)等差中项法:2an+1=an+an+2.就本例而言,第(2)问中,需证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是常数,而不是证an+1-an为常数.,知能迁移1 设两个数列an,bn满足bn= 若bn为等差数列，求证： an也为等差数列.,证明 由题意有a1+2a2+3a3+nan= 从而有a1+2a2+3a3+（n-1）an-1 = bn-1，（n2）,由-，得nan= 整理得an= 其中d为bn的公差（n2）. 从而an+1-an= （n2）.

5、又a1=b1,a2= d+b1,a2-a1= d, 所以an是等差数列.,题型二 等差数列的基本运算 【例2】在等差数列an中， （1）已知a15=33,a45=153,求a61; （2）已知a6=10,S5=5，求a8和S8； （3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d0, 求a1. 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d.,思维启迪,解 （1）方法一 设首项为a1,公差为d,依条件得 33=a1+14d a1=-23, 153=a1+44d d=4. a61=-23+(61-1)4=217. 方法二 由 由an=am+(n-m)d, 得a61=a45+16d=153+164=217.,解方程组得,（2）a6=10,S5=5, 解方程组得a1=-5,d=3, a8=a6+2d=10+23=16,a1+5d=10 5a1+10d=5.,S8=8 =44. (3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有 (a-d)+a+(a+d)=12 (a-d)a(a+d)=48, a=4 a=

6、4 a(a2-d2)=48 d=2. d0,d=2,a-d=2. 首项为2.a1=2., ,方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.,探究提高,知能迁移2 设an是一个公差为d (d0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列. （1）证明a1=d; （2）求公差d的值和数列an的通项公式. （1）证明 因为a1,a2,a4成等比数列，故 =a1a4. 而an是等差数列，有a2=a1+d,a4=a1+3d. 于是(a1+d)2=a1(a1+3d), 即 +2a1d+d2= +3a1d.化简得a1=d. （2）解 因为S10=110，S10=10a1+ d， 所以10a1+45d=110. 由（1）a1=d,代入上式得55d=110, 故d=2,an=a1+(n-1)d=2n. 因此，数列an的通项公式为an=2n,n=1,2,3,.,题型三 等差数列的性质及综合应用 【例3】 （12分）在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取

7、得最大值，并求出它的最大值. （1）由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.（2）利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.,思维启迪,解 方法一 a1=20，S10=S15， 1020+ d=1520+ d， d= 4分 an=20+（n-1） 8分 a13=0. 即当n12时，an0,n14时，an0. 10分 当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为 S12=S13=1220+ =130. 12分,方法二 同方法一求得d= 4分 Sn=20n+ = = 8分 nN+,当n=12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12=S13=130. 12分 方法三 同方法一得d= 4分 又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. 8分 5a13=0,即a13=0. 10分 当n=12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12=S13=130. 12分,探究提高 求等差数列前n项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利

8、用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； （3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A、B为常数） 为二次函数，根据二次函数的性质求最值.,知能迁移3 在等差数列an中，a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn. （1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值； （2）求Tn=|a1|+|a2|+|an|. 解 （1）设等差数列an的首项为a1,公差为d, a16+a17+a18=3a17=-36,a17=-12, d= =3, an=a9+(n-9)d=3n-63,an+1=3n-60, an=3n-630 an+1=3n-600 S20=S21= 当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.,令,得20n21,（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后 各项均为正数. 当n21时，Tn=-Sn= 当n21时，Tn=Sn-2S21=,综上，Tn=,（n21，nN*） （n21,nN*）.,方法与技巧 1.等差数列的判断方法有 (1)定义法：an+1-an=d (d是常数)an是等差数列. (2)中项公式：2an+1=an+an+2 (nN*)an

9、是等差数列. (3)通项公式：an=pn+q(p,q为常数）an是等差数列. (4)前n项和公式：Sn=An2+Bn （A、B为常数）an是等差数列.,思想方法 感悟提高,2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解. 3.等差数列的通项公式本身可以由累加法得到. 4.等差数列的前n项和公式Sn= 很像梯形面积公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方法完全一样. 5.等差数列的前n项和公式Sn=na1+ d可以变形为 类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把d理解为加速度.,失误与防范 1.如果p+q=r+s,则ap+aq=ar+as,一般地，ap+aqap+q，必须是两项相加，当然可以是ap-t+ap+t=2ap. 2.等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d=0. 3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列. 4.公差d= 类似于由两点坐标求直线斜率的计算. 5.当d不为零时，等差数列必为单调数列. 6.从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成的数列仍是等差数列.,一、选择题 1.（2008广东理，2）记等差数列an的前n项和为Sn，若a1= ，S4=20，则S6等于（） A.16B.24C.36D.48 解析 S4=2+6d=20，d=3，故S6=3+15d=48.,D,定时检测,2.（2009安徽文，5）已知an为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于（） A.-1B.1C.3D.7 解析 由已知得a1+a3+a5=3a3=105, a2+a4+a6=3a4=99,a3=35,a4=33,d=-2. a20=a3+17d=35+(-2)17=1.,B,3.（2009湖南文，3）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3,a6=1

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