高等数学(同济第六版)（上册）期末复习重点

1、 . 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式 也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用-第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式 曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法 （注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数 列的极限定理(极限的唯一性)数列xn不能

2、同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛，那么数列 xn一定有界。 如果数列xn无界，那么数列xn一定发散；但如果数列xn有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的 关系)如果数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于-1，xn却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能 是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)0)，反之也成立。 函数f(x)当xx0时极限存在的充分必 要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果 lim(x)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(xx0)f(x)=，则直线x=x0是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、

3、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是 无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么ab. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x0)(sinx/x)=1；lim(x)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列 xn、yn、zn满足下列条件：ynxnzn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当xx0时的极限存在，且等 于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(xx0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在 点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(xx0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(xx0)f(x)存在，但 lim(xx0)f(x)f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称 x0为函数f(

4、x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点 和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间 Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy=y|y=f(x)，xIx上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的 定义域内都是连续的。 定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区 间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即 mf(x)M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)0)，那么在开区 间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(a函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。 3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是

5、原函数导数的倒数。 4、函数f(x)在点x0处可微=函数在该点处可导；函数 f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。 第三章中值定理与导数的应用 1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在 开区间(a，b)内至少有一点(ab），使的函数f（x）在该点的导数等于零：f（）=0. 2、定理(拉格朗 日中值定理)如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点(a0，那么函数f(x)在a，b上单调增加；(2)如 果在(a，b)内f(x)0，那么函数f(x)在a，b上单调减少。 如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外 导数存在且连续，那么只要用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f(x)在各个部分区间内保持固定符 号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。 6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果 存在着点x0的一个去心邻域，对于这

6、去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。 在函数 取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却 不一定是极值点。 定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f (x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值 时，f(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f (x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f(x) 恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。 定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f (x0)=0，f(x0)0那么：(1)当f(x0)0时，函 数f(x)在x

7、0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。 7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如 果对任意两点x1，x2恒有f(x1+x2)/2f(x1)+f(x1)/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。 定理设函数f(x)在闭区间 a，b上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f(x)0，则f(x)在闭区间a，b上的图形 是凹的；(2)若在(a，b)内f(x)0，则f(x)在闭区间a，b上的图形是凸的。 判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤 (1)求出f(x)；(2)令f(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f(x)在 x0左右两侧邻近的符号，如果f(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0)是拐点，当两侧的符号 相同时，点(x0，f(x0)不是拐点。 在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。第四章不定积分 1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数 F(x)，使对任一xI都有F(x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指 数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或 幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u. 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是 初等函数。 第五章定积分 1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的

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