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高等数学(同济第六版)(上册)期末复习重点

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高等数学(同济第六版)(上册)期末复习重点

. 第一章:1、极限(夹逼准则) 2、连续(学会用定义证明一个函数连续,判断间断点类型)第二章:1、导数(学会用定义证明一个函数是否可导) 注:连续不一定可导,可导一定连续 2、求导法则(背) 3、求导公式 也可以是微分公式 第三章:1、微分中值定理(一定要熟悉并灵活运用-第一节) 2、洛必达法则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值(高中学过,不需要过多复习) 5、曲率公式 曲率半径 第四章、第五章:积分 不定积分:1、两类换元法 2、分部积分法 (注意加C )定积分: 1、定义 2、反常积分第六章:定积分的应用 主要有几类:极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章:向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线(两直线的夹角、线面夹角、求直线方程) 3、空间平面 4、空间旋转面(柱面)第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1 为下界;如果有f(x)K2,则有上界,K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数 列的极限定理(极限的唯一性)数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛,那么数列 xn一定有界。 如果数列xn无界,那么数列xn一定发散;但如果数列xn有界,却不能断定数列xn一定收敛,例如数列 1,-1,1,-1,(-1)n+1该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的 关系)如果数列xn收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列xn是发散的,如数列 1,-1,1,-1,(-1)n+1中子数列x2k-1收敛于1,xnk收敛于-1,xn却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能 是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示xx0,所以xx0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没 有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(xx0)时f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在着点那么x0的 某一去心邻域,当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0),反之也成立。 函数f(x)当xx0时极限存在的充分必 要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等则limf(x)不存在。 一般的说,如果 lim(x)f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(xx0)f(x)=,则直线x=x0是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是 无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么ab. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x0)(sinx/x)=1;lim(x)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列 xn、yn、zn满足下列条件:ynxnzn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果函数f(x)当xx0时的极限存在,且等 于它在点x0处的函数值f(x0),即lim(xx0)f(x)=f(x0),那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形:1、在 点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定义但lim(xx0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(xx0)f(x)存在,但 lim(xx0)f(x)f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限及右极限都存在,则称 x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点 和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间 Ix上单调增加或减少且连续,那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy=y|y=f(x),xIx上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的 定义域内都是连续的。 定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区 间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,即 mf(x)M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0),那么在开区 间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点(a<<b)。 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值。 第二章导数与微分 1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在 点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h-0)f(x0+h)-f(x0)/h及右极限lim(h+0) f(x0+h)-f(x0)/h都存在且相等,即左导数f-(x0)右导数f+(x0)存在相等。2、函数f(x)在点x0处可 导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。 3、原函数可导则反函数也可导,且反函数的导数是原函数导数的倒数。 4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数 f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。 第三章中值定理与导数的应用 1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在 开区间(a,b)内至少有一点(a<<b),使的函数f(x)在该点的导数等于零:f()=0. 2、定理(拉格朗 日中值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在开区间(a,b)内至少有一点(a<<b), 使的等式f(b)-f(a)=f()(b-a)成立即f()=f(b)-f(a)/(b-a)。 3、定理(柯西中值定 理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,且F(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在开区间 (a,b)内至少有一点,使的等式f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f()/F()成立。 4、洛必达法则应用条 件只能用与未定型诸如0/0、/、0、-、00、1、0等形式。 5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间 a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,那么:(1)如果在(a,b)内f(x)>0,那么函数f(x)在a,b上单调增加;(2)如 果在(a,b)内f(x)<0,那么函数f(x)在a,b上单调减少。 如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外 导数存在且连续,那么只要用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f(x)在各个部分区间内保持固定符 号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调。 6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,如果 存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何点x,f(x)f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。 在函数 取得极值处,曲线上的切线是水平的,但曲线上有水平曲线的地方,函数不一定取得极值,即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点),但函数的驻点却 不一定是极值点。 定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数在x0的导数为零,即f (x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导,且f(x0)=0,那么:(1)如果当x取x0左侧临近的值 时,f(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时,f(x)恒为负,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时,f (x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时,f(x)恒为正,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时,f(x) 恒为正或恒为负,那么函数f(x)在x0处没有极值。 定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f (x0)=0,f(x0)0那么:(1)当f(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值;(2)当f(x0)>0时,函 数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点,不是驻点也有可能是极值点。 7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续,如 果对任意两点x1,x2恒有f(x1+x2)/2<f(x1)+f(x1)/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的;如果恒有 f(x1+x2)/2>f(x1)+f(x1)/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。 定理设函数f(x)在闭区间 a,b上连续,在开区间(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f(x)>0,则f(x)在闭区间a,b上的图形 是凹的;(2)若在(a,b)内f(x)<0,则f(x)在闭区间a,b上的图形是凸的。 判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤 (1)求出f(x);(2)令f(x)=0,解出这方程在区间(a,b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0,检查f(x)在 x0左右两侧邻近的符号,如果f(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号,那么当两侧的符号相反时,点(x0,f(x0)是拐点,当两侧的符号 相同时,点(x0,f(x0)不是拐点。 在做函数图形的时候,如果函数有间断点或导数不存在的点,这些点也要作为分点。第四章不定积分 1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数 F(x),使对任一xI都有F(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指 数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或 幂函数和反三角函数的乘积,就可设对数和反三角函数为u. 2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它的原函数一定存在,但原函数不一定都是 初等函数。 第五章定积分 1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的

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