两个重要极限函数的连续性
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1、(1) 四、两个重要极限 C 由上图可知: 即 综合两者即得 例1-23 解 例1-24 解 例1-27 解 解 令,当 时, 注意 可作为公式来用. 例1-26 (2) 例1-28 解法1 解法2 2. 两个重要极限 主要内容 1极限的四则运算法则 一、连续函数的概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质 第三节 函数的连续性 1. 函数的增量 一、连续函数的概念 设函数 在点 附近有定义,把 附近的点 记为 ,则称 为自变量由 变到 的 增量. 为函数在点 的增量. 2函数连续性的定义 定义1-9 设函数 在点 及其附近有定义,如 果 时,也有 ,即 故定义中1-9的极限式等价于 则称函数 在点 处连续,称 为 的连续点. 因此，函数在一点连续的充分必要条件是 例1-29 讨论函数 在 的连续性 解 所以 在 连续 单侧连续 显然 即： 例1-30 设 在点 处连续, 问 、 应满足什么关系? 解 3函数的间断点 函数的不连续点称为函数的间断点,即满足下列三个 条件之一的点 为函数 的间断点. 第一类间断点（左右极限存在）:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型
2、. 间断点 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 可去间断点 例1-32 在 的连续性 跳跃间断点 例1-33 解 第二类间断点 例1-34 解 这种情况称为无穷间断点 解 1-1-0.50.5 y x 例1-35 这种情况称为振荡间断点 二、初等函数的连续性 (1) 一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的. (2) 若函数 与 在点 连续,则函数 在 连续. (3) 若函数 在点 处连续,设 , 而函数 在点 处连续,则复合函数 在点 处连续. 由以上可知:初等函数在其定义域内都是连续的. 故对初等函数,求极限就是求这一点的函数值 例1-36 由于函数在其连续点 满足 解 现解法 回顾例1-28 原解法 三、闭区间上连续函数性质 a b 定理1-3（最值定理） 若函数 闭区间 上连续，则 在闭区间 上必有最大值和最 小值 a b f(a) f(b) 定理1-4（介值定理） 若函数 闭区间 上连续，则对介于 和 之间的任何数 ，至少存在 一个 ，使得 其几何意义为 连续曲线弧 与水平直线 至少相交于一点 1函数连续的定义 2间断点 类型： 第一类 第二类 可去型 跳跃型 无穷 振荡 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 主要内容 备用题 确定函数 间断点的类型. 解: 间断点 为无穷间断点; 故为跳跃间断点. 阅读与练习 1. 求的间断点, 并判别其类型. 解: x = 1 为第一类可去间断点 x = 1 为第二类无穷间断点 x = 0 为第一类跳跃间断点 2. 求 解: 原式 = 1 (2000考研) 3. 求 解: 令 则 利用夹逼准则可知 作业 P15 1、 3(19，21，23，26) 2、 10
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