《两角差的余弦公式》课案设计.pdf

1、 一 、教学 目标 ( 1 ) 通过 引例让 学生 经历 问题提 出 过程， 激发学生探索数学规律的积极性。 ( 2 ) 理解两角差的余弦公式及推导 过程， 并能进行简单的三角恒等变换。 ( 3 ) 通过公式 的探 究 ， 培养学 生分析 问题、 解决问题的能力。 二、 教学重点与难点 重点：两角差的余弦公式的探究过 程及公式 的运用 。 难点： 探索过程的组织和引导， 两角 差余弦公式的探究思路的发现。 三 、 教学准备 教 师 ：将 教科 书 中 的引例及 图 3 1 - 1 ， 图 3 1 - 2 ， 图 3 1 3 ， 例 1 ， 例 2做 成投影片 ，有条件的可利用多媒体， 图 3 1 2 做 成动画形式 。 学生： 直尺 、 圆规等。 四、 教学导 图 创设情景， 以实例引入课题 一 明确 探究目标及途径一组织学生 自主探索一 例题与练习一小结与作业。 五、 教学设计 1 展 示实例 课本章头图 3 1 1给出的问题 ， 创 设情景， 引入课题。 设计意图： 由给出的情境素材， 使学 生感受到实际问题中对研究两角和 ( 差) 公式的需要。 师生活动 ：教师运用投影片 或多媒

2、体 出示实例 。 组织学生使， 问题 数学 化 。 学 生实例 的关 键是 如 何 由 s i n o t = ， 求 t a n a = ( 4 5 。 ) 的值。 0 舛t e a c h e r 教师可 先引导学 生用方程 的思 想分析求解该问题。进而启发学生如何 用所学的三角学知识进行分析解决。 师生将问题一般化，抽象概括 出带有一般性的数学问题：探求单角与 和角的三角函数值之间的关系，即对任 意角 a 如何用 3的三角函数值把 或 0 f 的三角函数值表示出来?为 此 ， 本节学习两角差的余弦公式这一具 有奠 基性 的问题 ， 从而 引出本节课题 。 2 你认为 =正确 吗? 设计意 图 ：人们 由于受思维定势 的 影响， 往往以为此“ 分配律” 成立 ， 通过特 意设置这个 思考 问题 ，让学生深刻认识 到这一“ 习惯性” 的结论 的不正确性， 从 而树立不能想当然、要理性思维的良好 观念 ， 并认识到要探索的公式在“ 恒等” 方面要求的意义。 师生活动 ： 教师 提 出上述 问题 ， 引导学生分析认识到，要验证一个等式 是否成立，可以先通过特例进行初步验 证， 有一个特例

3、不成立， 就可断言结论不 成立； 若找不到反例 ， 则可试着去证明它 是成立 的。 学生尝试检验 ，取一些特殊角 进行验证 ， 例如 o r = 6 0 o ， 0 = 3 0 ， 判断出 该“ 式” 不是“ 恒” 成立的。 教师那 么，如何用单角 3 的 正弦、 余弦值正确表示 c o s ( ) 呢?通 过这个问题引起悬念 ， 激起探索欲望。 3 运 用 三 角 函 数 定 义 探 索 C O S ( ) 的表达式 设计意图：通过提出用三角函数定 义推导公式 ，学生会考虑单位圆上如何 做出角 O l 、 、 的三角函数线 ，教师 利用投影或多媒体 ，积极 引导学生经 历“ 作角一找线一找等量关系” 的探索 过程 。 师生活动：教师数学上讲究从 特殊到一般， 从简单到复杂， 对此问题， 我们也不妨先从 O L i个角都 为 锐角的情形开始研究。我们可以借用的 工具是什么呢? 回到基础， 从定义开始。 学生在单位圆， 作出角 O L 、 口的 终边 ， 从而做出角 的余弦线 O M， 如 图 3 1 1 。 教师现在 ，问题可转化为什么 样的问题?只需要探究 出来什么就可以 了呢? 学

4、生 学生基本能够指 出 ，问题 转化为 ： 如何用角 O L 、 口的正弦线 、 余 弦 线来表示 O M? 教师带领学生利用几何直观寻 找 O M的表达式， 从而得出表达式。 教师 进一 步指 出 ，刚才的推导是在都为锐 角 这个特殊情况下进行的，所得结果是否 任意角 、 B都成立?教师可以用多媒体 进行演示 ，让学生通过演示观察猜测结 论。 肯定结论之后， 具体推广过程请同学 们课下完成。 4 能否 利用 向量 的 方 法探 究 C O S ( ) 公式? 设计意图： 通过多角度分析 ， 培养学 生的自主探究能力。使学生对向量的坐 标表示 ， 向量的数量积有进一步的理解。 同时 ， 培养学生严谨的数学品质。 师生活动：教师上面通过回归 定义 ， 我们推导出了两角差的余弦公式， 还有其他办法吗? 学生在平面直角坐标系 D ， 中 作单位圆， 以 为始边作角 ， ， 如图 3 1 2 ，从而能写出交点 A， 的坐标， 由 数量积坐标公式推导出c o s ( - 口 ) 。尝试 推导过程 。 教师引导学生分析整个推导过 程 ， 是否有不严谨之处? 师生根 据 向量数 量积 的概 念 ，

5、角 必须符合条件 0 J B 订， 若 1 8是任意角， 则 也是任意角。事实 上 ， a - 3 = 2 k 竹+， 或 2 叮 T 一 ( j Z ) C O S( 8 ) = c o s ：O 0 对 于 ，对 于任 意 角 都 有 c o s ( a - 3 ) 。= c o s a c o s + s i n a s i r y 3 。 5 归纳公式的结构特点 设计意图： 使学生进一步熟悉公式 ， 了解公式的结构特征 ，以便运用公式解 决一些问题或推导其他公式。 师生活动： 师生共 同分析公式 结构特点 ： 任意角 ， 同名积 ， 符 号 反 。 教师此公式称为差角的余弦公 式 ， 简记为 G 。 6 自学例 1 。 并解决 思考题 设计意图： 初步体验公式用法， 增加 对公式的理解 ， 培养学生的自学能力。 师生活动：学生求解过程独立 完成 。 教师通过本例及思考题，点评 公式的正用和逆用 ，角的拆分的多 样性 ， 诱导公式的运用。 并安排如下两 个变式练习， 来强化公式的记忆和理解。 变式练习： 求值： ( 1 ) c o s 5 3 。c o s 2 3 o+ s i

6、n 5 3。 s i n 2 3。 ； ( 2 ) c o s ( 一 ) c o s 0 + s i n ( L+ ) s i n 。 丌 7 自学 例 2 。并 完成 P 1 2 7练 习第 24题 设计意图： 进一步理解公式， 掌握运 用公式应该注意的问题，明确思维的有 序性和表达的条理性是三角变换的基本 要求。 师生活动： 学生认真审题， 求解 问题 ， 注意步骤。 教师对学生表述的步骤 ，是否 规范作出必要的点评和要求。 递进思考： 将例 2的条件 ( ， 1 r ) 改为 ( 0 ， 竹) ， 如何求 C O S ( ) 的值。 训练学生的分类讨论的思想，提高 表达能力。 8 练习：以知 a 为锐角， C O $ o l = ，c 。 s ( )= 鲁 ，c o s 的 卢 值 设计意图： 培养学生灵活运用公式 的能力 ，初步体会角的配凑技巧在三角 问题解决 中的作用 。 师生活动：教师引导学生比较 公式， 注意角卢与 ， 之间的关系。 学生独立思考 ，不难得 出口 = ( ) 教师提问学生说出思路，最后 进行解法点评。本题特点：需要构造 角， 需要研究角的范围。 9 反思

7、与升华 总结两角差的余弦公式的探索 及证明思路； 应用公式求值时应注意问题是 什么? 总结本节课所涉及的数学思想 和办法 。 设计意图： 通过总结 ， 使学生对本节 课有一个全面的认识 ，提高学生的数学 思维能力， 培养学生强烈的求知欲望。 师生活动：师生探究公式的方 法 ： 有简单到复杂， 由浅入深； 由特 殊到一般，抓主要问题探索；进行反 思， 予以修正完善。 六 、 作业设计 作业 ： 教课书 P 1 3 7习题 3 1 A组第 2 4题 。 备选练习： l | 若 c o 8 d + c 0 = c o s T = 0 ， s i n a + s i n + s i n y = 0 ， 求 c o s ( a - 3) 的值。 解： c o s + c o 日 B _ - c o s T s i n 0 【 + s i n p= - s i n 一一一 一： = = ； ； i 二一 = 警 瞄誓r A L UI C 一一 一 l + 得： 2 + 2 + c o s ( + ) = 一 Z 2 如何用 c o s ( d - 3) 的表达式来探 究( 3) 的其他三角函数? 七 、 教材设计说明 ( 1 ) 本设计首先通过章头图实际问 题的引入，让学生感受到研究和差公式 的必要， 这样设计能够引起学生兴趣， 引 发矛盾冲突， 同时明确了探究 目标。 ( 2 ) 本设计重点放在公式的推导上， 分三个层次： 一是直觉猜想 ， 特殊验证 ； 二是通过 , 3 为锐角( 口) 的特殊情况 进行探究 ； 三是对一般情形进行探究。 这 样设计符合认知规律，使学生感受到学 习过程是不断猜想、 不断修正、 从特殊到 一 般的思维过程。通过探究和证明不但 培养了学生逻辑推理能力，而且培养了 合情推理能力及创新能力，以及优秀的 数学思维品质， 体现了探究中“ 大胆猜想、 小心求证” 的教学思想 ， 使数学的学习过 程由冰冷的美丽化为火热的思考。 ( 3 ) 关于例题与练习的处理， 主要考 虑到知识的基础性和方法的简单性， 本 设计安排为自学、 自练方式 ， 这样对学生 养成良好的习惯有益。 最后通过反思与升 华， 把学生的思考推向了更广阔的空间。 ( 作者单位： 湖南省衡南县第一中学) 、0 g

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