近代物理课件第3章量子力学初步
93页1、第三章 量子力学初步,3.1 微粒的波粒二象性,德布罗意认为“一般的”物质也具有波粒二象性的性质. 一个能量为E,动量为P的粒子与频率为v和波长为的波相当 仿照光子和光波的关系:,这称为德布罗意关系公式。,例:自由粒子。 自由粒子具有确定的动量和能量,则按德布罗意关系,对应的波有确定的频率和波矢,量子力学中自由粒子的平面波用复数形式:,这称为德布罗意波,微粒波动性的验证: (1)戴维逊革末实验: 电子在晶体表面的衍射,微粒波动性的验证: (2)电子的双缝衍射,3.2 波函数的统计解释,一、波函数 一般情况下,用一个函数表示描写粒子的波,并称这个函数为波函数。,波函数的统计解释:波函数在空间某点的强度(振幅绝对值的平方, )和在该点找到粒子的几率成正比。 描写粒子的波称为几率波。 波函数描写粒子的量子状态。,二、波函数的归一化,1、几率密度 以波函数 描写粒子的状态,t时刻(x,y,z)位置波函数强度 以dw(x,y,z,t)表示在(xx+dx, yy+dy, zz+dz 位置找到粒子的几率,t时刻在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率密度,则由波函数的统计解释:,2、波函数的归
2、一化 粒子必定在空间某点出现,所以,满足上式的波函数称为归一化波函数,上式也称为归一化条件, 称为归一化常数。,解:设归一化波函数为,归一化:,,将其归一化。,3、任意相因子,4、自由粒子波函数不可归一化 例:,3.3 态迭加原理,描述一个粒子: 经典力学:坐标,动量 量子力学:波函数,几率 这种描述的差别的原因是波粒二象性。 波粒二象性还通过量子力学中关于态的一个基本原理态叠加原理表现出来。,经典波的干涉,衍射现象都是态叠加原理的结果,量子力学中: 如果 和 是体系的可能状态,则它们的线性 迭加 也是这个体系的一个可能 状态,而且当粒子处于 和 的线性迭加态 时,粒子是既处于 态,也处于 态,一、态迭加原理,二、状态迭加干涉项,三、态迭加原理的一般形式,当 为体系的可能状态时,他们的 线性迭加 也是体系的一个可能状态。当体系处于 态时, 体系部分的处于 态之中,电子在晶体表面的衍射实验中,粒子在晶体表面上反射后,可能以各种不同的动量p运动。以一个确定动量p运动的粒子状态波函数是:,按态叠加原理,在晶体表面上反射后,粒子的状态可以表示为各种可能动量值的平面波的线性叠加。,事实上任何一个
3、波函数都可以当作是各种不同动量的平面波的叠加:,其中,互为傅里叶变换,是同一状态的两种不同描述方法,前者以动量为变量,后者以坐标为变量。 一维情况下:,经典力学:已知力 F 及 x0、v0,质点的状态变化由牛顿运动方程求出。,当微观粒子在某一时刻的状态为已知时,以后时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。,所要建立的是描写波函数随时间变化的方程,它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。,量子力学:微观粒子的运动状态由波函数来描写,状 态随时间的变化遵循着一定的规律。,1926年,薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上,提出了薛定谔方程作为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。,3.4 薛定谔方程,下面用一个简单的办法来引进这个方程。首先讨论自由粒子,,(1),对时间求导:,(2),对坐标求导,(3),利用以上(2)、(3)两式,可以得出,所以前式右边为0,即:,其能量与动量的关系是:,(4),(5),由(4)式,可以得出,比较(5)、(6)两式,粒子能量E和动量p各与下列算符相当:,(6),分别称为能量和动量算符。它们作用于波函数上,就可得到方程(5).,(5),
4、(7),(8),进一步考虑在势场U(r)中运动的粒子,经典粒子的能量关系式,(9),对于上式作算符替换,然后作用于波函数上,即得:,(10),这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动 的基本规律。,推广到多粒子体系:,薛定谔方程是量子力学最基本的方程,其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。它是量子力学的一个基本假定,并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确性,归根结底,只能靠实验来检验。,这是多粒子体系的薛定谔波动方程,3.5 粒子流密度和粒子数守恒定律,1、定域的几率守恒 几率密度,(1),在一定的空间区域,粒子出现的几率怎样变化?,几率密度时间变化率,(2),(3),将薛定谔方程,代入得:,令,(4),则,(5),将上式对空间任意一个体积V求积分:,利用高斯定理得:,(6),(7),上式左边代表在闭区域V中找到粒子几率的变化率, 而右边(注意负号)表示单位时间内通过封闭表面流入体积V内的几率。 J称为几率流密度矢量。,对整个空间:,(8),说明在整个空间找到粒子的几率与时间无关。,几率密度,几率流密度,几率守恒定律,质量密度,电荷密度,质量流密度,电流密度,质量守恒定律
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