近代物理课件第3章量子力学初步

第三章 量子力学初步,3.1 微粒的波粒二象性,德布罗意认为“一般的”物质也具有波粒二象性的性质. 一个能量为E，动量为P的粒子与频率为v和波长为的波相当 仿照光子和光波的关系：,这称为德布罗意关系公式。,例：自由粒子。 自由粒子具有确定的动量和能量，则按德布罗意关系，对应的波有确定的频率和波矢,量子力学中自由粒子的平面波用复数形式：,这称为德布罗意波,微粒波动性的验证： (1)戴维逊革末实验： 电子在晶体表面的衍射,微粒波动性的验证： (2)电子的双缝衍射,3.2 波函数的统计解释,一、波函数 一般情况下，用一个函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数。,波函数的统计解释：波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方， ）和在该点找到粒子的几率成正比。 描写粒子的波称为几率波。 波函数描写粒子的量子状态。,二、波函数的归一化,1、几率密度 以波函数 描写粒子的状态，t时刻（x,y,z）位置波函数强度 以dw(x,y,z,t)表示在（xx+dx, yy+dy, zz+dz 位置找到粒子的几率,t时刻在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率密度,则由波函数的统计解释：,2、波函数的归一化 粒子必定在空间某点出现，所以,满足上式的波函数称为归一化波函数，上式也称为归一化条件， 称为归一化常数。,解:设归一化波函数为,归一化：,，将其归一化。,3、任意相因子,4、自由粒子波函数不可归一化 例：,3.3 态迭加原理,描述一个粒子： 经典力学：坐标，动量 量子力学：波函数，几率 这种描述的差别的原因是波粒二象性。 波粒二象性还通过量子力学中关于态的一个基本原理态叠加原理表现出来。,经典波的干涉，衍射现象都是态叠加原理的结果,量子力学中： 如果 和 是体系的可能状态，则它们的线性 迭加 也是这个体系的一个可能 状态，而且当粒子处于 和 的线性迭加态 时，粒子是既处于 态，也处于 态,一、态迭加原理,二、状态迭加干涉项,三、态迭加原理的一般形式,当 为体系的可能状态时，他们的 线性迭加 也是体系的一个可能状态。当体系处于 态时， 体系部分的处于 态之中,电子在晶体表面的衍射实验中，粒子在晶体表面上反射后，可能以各种不同的动量p运动。以一个确定动量p运动的粒子状态波函数是：,按态叠加原理，在晶体表面上反射后，粒子的状态可以表示为各种可能动量值的平面波的线性叠加。,事实上任何一个波函数都可以当作是各种不同动量的平面波的叠加：,其中,互为傅里叶变换，是同一状态的两种不同描述方法，前者以动量为变量，后者以坐标为变量。 一维情况下：,经典力学：已知力 F 及 x0、v0，质点的状态变化由牛顿运动方程求出。,当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。,所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。,量子力学：微观粒子的运动状态由波函数来描写，状 态随时间的变化遵循着一定的规律。,1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程作为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。,3.4 薛定谔方程,下面用一个简单的办法来引进这个方程。首先讨论自由粒子，,（1）,对时间求导：,（2）,对坐标求导,（3）,利用以上（2）、（3）两式，可以得出,所以前式右边为0，即：,其能量与动量的关系是：,（4）,（5）,由（4）式，可以得出,比较（5）、（6）两式，粒子能量E和动量p各与下列算符相当：,（6）,分别称为能量和动量算符。它们作用于波函数上，就可得到方程(5).,（5）,（7）,（8）,进一步考虑在势场U(r)中运动的粒子，经典粒子的能量关系式,(9),对于上式作算符替换，然后作用于波函数上，即得：,(10),这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动 的基本规律。,推广到多粒子体系：,薛定谔方程是量子力学最基本的方程，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。它是量子力学的一个基本假定，并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确性，归根结底，只能靠实验来检验。,这是多粒子体系的薛定谔波动方程,3.5 粒子流密度和粒子数守恒定律,1、定域的几率守恒 几率密度,(1),在一定的空间区域，粒子出现的几率怎样变化？,几率密度时间变化率,(2),(3),将薛定谔方程,代入得：,令,(4),则,(5),将上式对空间任意一个体积V求积分：,利用高斯定理得：,（6）,（7）,上式左边代表在闭区域V中找到粒子几率的变化率， 而右边（注意负号）表示单位时间内通过封闭表面流入体积V内的几率。 J称为几率流密度矢量。,对整个空间：,（8）,说明在整个空间找到粒子的几率与时间无关。,几率密度,几率流密度,几率守恒定律,质量密度,电荷密度,质量流密度,电流密度,质量守恒定律,电荷守恒定律,注意：这里的几率守恒具有定域的性质。当粒子在空间某地的几率减小了，必然在另外一些地方的几率增 加了（使总几率不变），并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。,2、波函数的标准条件,波函数必须满足：有限性、连续性、单值性。 这就是波函数的标准条件。,3.6 定态薛定谔方程,这里讨论一个极为重要的特殊情况： 假设势能U不显含时间t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）。 此时，薛定谔方程可以用分离变量法求其解，令特解为,(1),代入薛定谔方程 中，可得：,上式右边E是即不依赖于t，也不依赖于,的常数，于是,(2),(4),两边分别除以f,(3),由（2）直接有：,形式如(4)式的波函数所描述的态称为定态。 (4)式称为定态波函数，也就叫波函数。方程(3)称为不含时间的薛定谔方程或定态薛定谔方程。,式（2）和（3）分别乘以和f有，,(5),其中 和 都称为能量算符或（哈密 顿算符，记为 ，因此：,(6),这种类型的方程称为本征值方程。E称为算符 的本征值， 称为算符 本征函数。,(7),在 态中E即为能量，所以当体系处在哈密顿算符的本征态时，粒子的能量有确定的值，这个值就是本征函数对应的本征值。 求定态问题的波函数和对应的能量就归结为解定态薛定谔方程。,3.7 一维无限深势阱,设势能,一、一维定态问题中粒子感受沿一个方向(x)变化的势场 U(x),它也是由三维问题分离变量出来的问题。,由于势能U(x)不显含时间t，于是可得系统的定态薛定 谔方程：,(1),对本问题有：,(2),(3),根据波函数应满足连续性和有限性的条件,(4),(6),(7),(5),(8),(9),(10),由上两式得,注意：A，B不能同时为零,(11),量子化的能量公式,(a)解,(12),(b)解,(13),(14),(15),二、束缚态,三、一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度,对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。,经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。,随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当 时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。,从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域能运动。,四、讨论：,3.8 线性谐振子,线性谐振子是许多实际问题的一级近似，简谐振动是许 多复杂运动的成分，可以分解为一系列简谐振动的合成,一、求解一维线性谐振子的薛定谔方程,1、其薛定谔方程为：,(1),整理得：,(2),(2)式变为：,(3),作变量代换，使自变量无量纲化,(5),(4),(6),(6)为一复系数常微分方程,2、方程(6)的渐近解,(9),(8),(7),渐近解,可设一般解,将(9)代入(6)得,厄密方程,(9),3、解厄密方程,(11),(10),(12),递推关系,(13),(14),线性谐振子能级公式,(15),厄密函数,(16),(17),(19),(20),(18),(21),二、物理意义,2、几率密度,3、能级,讨论：,4、基态波函数,三、一个应用例子固体比热 1. 经典热容理论 Dulong-Petit把气体分子的热容理论直接用于固体，假定晶体类似金属气体，其点阵是孤立的，认为固体中的原子振动有三个自由度，每个自由度上的平均动能个平均势能均为kT/2，则三个自由度总能量等于3kT，1mol原子晶体的总能量E=3NkT=3RT,热容,2.爱因斯坦模型 晶格中的原子看作谐振子，能量是量子化的：,第n个量子态在温度T出现的概率：,认为晶格独立振动三维线性谐振子，总能量：,3.9 势垒贯穿（隧道效应）,一、方势垒的穿透,粒子从无限远处来，受势垒散射后又到无限远处去， 粒子能量事先知道。波函数在不远处不为零，体系能量 可取任意值，构成连续谱（散射态，不是束缚态）。,(1),（方势垒）,1、方势垒,(2),(3),这是入射粒子流密度为：,入射波：,(4),(5),(6),(7),变换为：,(8),(9),(11),(10),(12),(13),(14),(15),(16),(17),(18),(19),隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量是虚数。由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守“不确定关系”，粒子的坐标x和动量P不可能同时具有确定的值，自然作为坐标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确定的值。因此，对微观粒子而言，“总能量等于势能和动能之和”这一概念不再具有明确的意义。,(20),(21),3.10 氢原子的量子力学处理,一、氢原子的薛定谔方程,电子在原子核的库仑场中运动：,定态薛定谔方程：,氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：,氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程：,二、分离变量,1,代入方程，并用 乘以两边：,是一个与 无关的常数。,径向方程：,角方程：,2. 对角方程：,代入方程，并 用乘以两边：,是一个与 无关的常数。于是：,令：,三、 三方程的解,1 方程的解,方程的解为：,波函数单值性要求：,波函数归一化：,2 方程的解,这是缔合勒让德方程。求解过程中发现，为了得到符合波函数标准条件的解，必须对 和 加以限制：,方程的解为缔合勒让德多项式：,3 方程的解,缔合拉盖尔方程，方程的解为缔合拉盖尔多项式,四、H原子的波函数,对应一组量子数n, l, m ，就能给出 波函数的一个具体形式，因此n, l, m 确定了原子的状态。,当 时， 取任何值都能使R满足标准条件的 解。所以正值的能量是连续的，相当于自由电子 与H+离子结合为原子时释放的能量。,五、 量子力学对氢原子运动状态的描绘,一、量子数 的物理意义,1主量子数 与能量量子化,当 时， 能量是量子化的，自然得出。,2角量子数 和角动量量子化 角动量是量子化的，自然得出。 旧量子论： 当角动量很大时， ， ，二者一致， 所以玻尔理论给出了近似的结果。,3磁量子数m和空间量子化 个 角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间取 向量子化，自然得出。,由于薛定谔方程是非相对论的，没有导出自旋量子数 和自旋磁量子数 。,因此，在 附近、 内找到电子的几率为：