概率论与数理统计答案祝东进

1、.习题 1.11. 写出下列随机试验的样本空间:(1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数.(2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数.(3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止.(4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或检查四个产品就停止检查,记录检查的结果.(5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.解:;(2) ;(3) , , , , ;(4) , , , , , , , ;(5) .2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: =出现的点数之和为偶数. =出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点. =至少掷出一个2点. =两颗骰子出现的点数相同.解: ;(2) ;(3) ;(4) .3. 设是三个事件,试用来表示下列事件:(1) 事件中至少有一个事件发生.(2) 事件中至少有两个事件不发生.(3) 事件中至多有一个事件不发生.(4) 事件中至少有一个事件不发生.(5) 事件至少有一个发生,而不发生.解:;(2) 或 ;(3) 或;(4) ;(5) 或.4. 指出下列命题哪些成立,哪些不成立? . . . . . . 等价于或或. 若

2、,则.解:正确;正确;正确;正确;错误;正确;正确;正确.5. 在数学系的学生中任选一名学生,令事件表示被选学生是女生, 事件表示被选学生是三年级学生, 事件表示被选学生是运动员.(1) 叙述的意义.(2) 在什么条件下成立?(3) 什么时候成立?解: 被选学生是三年级男运动员;(2) 因为等价于,即数学系的女生全部都是三年级运动员;(3) 数学系的男生全部都是运动员,且运动员全部都是男生.6. 试用维恩图说明,当事件,互不相容,能否得出,也互不相容?解: 不能.7. 设样本空间, 事件,试求: .解:;.习题 1.2(6) 设,求; ;.解: ;.(7) 设 且求.解:注意到.从而由得.于是.(8) 设为三个随机事件, 且,求.解: 由知. 于是由广义加法公式有.(9) 设为两个随机事件,且,问:(4) 在什么条件下,取到最大值,最大值是多少?(5) 在什么条件下,取到最小值,最小值是多少?解:由于.由此可见在条件下,取到最大值.(6) 注意到. 因此当时,取到最小值.思考: 有人说,在时,取到最小值0. 你能指出错误在什么 地方吗?(10) 设为两个随机事件,证明: . .证明:由

3、广义加法公式可得.(2) 由立得. 其余不等式是显然的.(11) 设为三个随机事件,证明:.证明:由广义加法公式可得(12) 设为个事件,利用数学归纳法证明: . .证明: 当时, 由广义加法公式有.即对成立.假设对成立, 于是即对成立. 得证.当时, 由广义加法公式有.即对成立.假设对成立, 即.于是即对成立. 得证.(13) 设为一列事件,且,证明:.证明:利用性质6的结论显然为一列事件,且,即性质6的条件成立,因此.于是.习题 1.3(7) 掷两颗均匀的骰子,求下列事件概率: 两颗骰子的点数相同;两颗骰子的点数之和为偶数;一颗骰子的点数恰是另一颗骰子的点数的两倍.解:; ; .(8) 有五条线段,长度分别为1,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,求所取的三条线段能拼成三角形的概率.解:由古典概型可得所求的概率为.(9) 一个小孩用13个字母:A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T做组字游戏.如果字母的各种排列是随机的,问组成MATHEMATICIAN一词的概率为多少?解:由古典概型可得所求的概率为.(10) 个人随机地排成一列,甲、乙是其中的两个人,求甲、乙两人之

4、间恰好有个人的概率, 这里.解:由古典概型可得所求的概率为.(11) 个男孩和个女孩随机排成一列,求任意两个女孩都不相邻的概率.解:个男孩和个女孩随机排成一列共有种排法.任意两个女孩都不相邻可按如下方式进行: 先将个男孩排好,共有个间隔,从个间隔中选出个位置进行女生排列.因此排法总数为.从而由古典概型可得所求的概率为.(12) 从双尺码不同的鞋子中任取只,求下列事件的概率: a) 所取的只鞋子中没有两只成对的; 所取的只鞋子中只有两只成对的; 所取的只鞋子恰成对.解:;.(13) 掷一枚均匀的硬币次,求出现的正面次数多于反面次数的概率.解:设表示硬币出现的正面次数多于反面次数,表示硬币出现的反面次数多于正面次数,表示硬币出现的反面次数等于正面次数.易见, .当时,易见,从而.当时,易得.从而.(14) 从一个装有个白球,个黑球的袋中逐一将球不放回地随机取出,直至留在袋中的球都是同一颜色的球为止,求最后留在袋中的球都是白球的概率.解:此题设想将袋中的个白球和个黑球全部摸出,则最后一次摸出白球与本题所述的事件相同.因此由抽签原理可得所求的概率为.(15) 口袋中有5个白球、3个黑球,从中任

5、取两个,求至少取到一个白球的概率.解:所求的概率为.(16) 某人有把钥匙,其中只有一把能打开门,他一把接一把地试开门,不能开门的就扔掉求他恰好在第次把门打开的概率解:所求的概率为.(17) 任取一个正整数,求下列事件的概率:a) 该数平方的个位数是1; 该数立方的个位和十位都是1.解:我们知道一个数平方的个位数只与该数的个位数有关.因此我们观察取出数的个位数,其样本空间为.易知其是古典概型.设表示该数平方的个位数是1, 则,于是.一个数立方的个位和十位与该数的个位和十位有关.因此我们观察取出数的个位和十位数,其样本空间为,表示该数立方的个位和十位都是1.则,于是.(18) 某人忘记了一个号码的最后一位数字,因此只能试着随意地拨这位数,假设拔完规定位数算完成一次拨号,且假设对方不占线,试问他拨号不超过四次就能接通的概率是多少?解:所求的概率为.(19) 一公司批发出售服装,每批100套公司估计某客商欲购的那批100套服装中有4套是次品,12套是等级品,其余是优质品,客商在进货时要从中接连抽出2套做样品检查,如果在样品中发现有次品,或者2套都是等级品,客商就要退货试求下列事件的概率：样品

6、中1套是优质品,1套是次品；样品中1套是等级品,1套是次品；退货；该批货被接受；样品中恰好有1套优质品解:样品中1套是优质品,1套是次品的概率为;(3) 样品中1套是等级品,1套是次品的概率为;(4) 退货的概率为;(5) 该批货被接受的概率为;(6) 样品中恰好有1套优质品的概率为.(20) 在桥牌比赛中,把52张牌任意地分给东、南、西、北四家,求下列事件的概率:北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花;南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃； 南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃.解:北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率为或;(2) 南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃的概率为;(3) 南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃的概率为.(21) 将3个球随机地放入4个杯子,求4个杯子中球的个数最大值为2的概率.解: 3个球随机地放入4个杯子共有种放法. 4个杯子中球的个数最大值为2相当于先从3个球中任意地选出2个球作为一个整体和另外一个球放到4个杯子的放法总数为.于是所求的概率为.(22

7、) 设集合有4个元素, 集合有3个元素,随机地作集合到集合的映射,求该映射为满射的概率.解:该映射为满射的概率为.(23) 将个球随机地放入个盒子中,求下列事件的概率:(14) 每个盒子中均有球; 恰好有1个盒子空着的概率.解:设表示第个盒子无球,.(6) 设表示每个盒子中均有球.则.注意到, ,于是由广义加法公式有从而.(7) 恰好有1个盒子空着可以这样理解,先从个盒子任意选定1个空盒,然后将个球随机地放入个盒子,使得个盒子都有球. 从而由及乘法原理可知恰好有1个盒子空着共有样本点,于是其概率为.(24) 某班有个同学参加面试,共有张考签,每人抽到考签用后即放回,在面试结束后,求至少有一张考签没有被抽到的概率.(8) 解:设表示第张考签没有被抽到,.设表示至少有一张考签没有被抽到. 则.注意到, ,于是由广义加法公式有(25) 从阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率为多少?解:设表示所取的项含第行第列主对角线元素,.设表示所取的项包含主对角线元素. 则.注意到, ,于是由广义加法公式有习题 1.51. 已知,求; ;.解：注意到 故 . 2. 设试证:证明:

8、因为, .故 3. 设件产品中有件不合格品,从中逐一不放回地取出两件产品,(6) 已知第一次取出不合格品,求第二次也取出不合格品的概率;(7) 已知所取的两件产品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.解:设表示第次取出不合格品,.于是所求的概率为.(2) 设表示所取的两件产品中有一件是不合格品, 表示另一件也是不合格品.于是所求的概率为4. 掷两颗均匀的骰子,已知点数和为偶数,求点数和等于8的概率; 已知点数和为奇数,求点数和大于6的概率; 已知点数和大于6,求点数和为奇数的概率.解: 所求的概率为; 所求的概率为; 所求的概率为. 5. 一个家庭中有三个小孩,已知其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率.解: 表示三个小孩中有一个是女孩, 表示三个小孩中至少有一个是男孩,于是所求的概率为6. 为防止意外事故,在矿井内同时安装两种警报系统与,每种系统单独使用时,其有效率为0.92,为0.93,在失灵条件下有效概率为0.85求：发生事故时,这两种警报系统至少有一个有效的概率；在失灵条件下,有效的概率.解:表示系统有效, 表示系统有效. 由题意知,从而.(1) 所求的概率为.(2) 所求的概率为. 7. 口袋中有只红球和只白球,现从

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