专题17.2 勾股定理的逆定理【八大题型】（举一反三）-八年级数学下册（人教版）（解析版）

1、专题17.2 勾股定理的逆定理【八大题型】【人教版】【题型1 判断三边能否构成直角三角形】1【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】3【题型3 在网格中判断直角三角形】6【题型4 勾股数的探究】9【题型5 利用勾股定理的逆定理证明】13【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】17【题型7 勾股逆定理的应用】20【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】23【知识点 勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形【题型1 判断三边能否构成直角三角形】【例1】（2023春黑龙江哈尔滨八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（）Aa=5,b=3,c=3Ba=13,b=15,c=14Ca=6,b=4,c=5Da=7,b=24,c=25【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答【详解】解：A、32+32=1852，故不能组成直角三角形，故不合题意；B、152+142=41400132，故不能组成直角三角形，故不合题意；C、42+52=4162，故不能组成直角三角形，故不合题意；D、72+242=625=

2、252，故不能组成直角三角形，故不合题意；故选：D【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键【变式1-1】（2023春湖北孝感八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a+bab=c2，则这个三角形是（）A等腰三角形B直角三角形C锐角三角形D不确定【答案】B【分析】将原式整理为a2=b2+c2，即可判断.【详解】解：a+bab=c2，a2b2=c2，a2=b2+c2，这个三角形是直角三角形；故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟练掌握勾股定理逆定理、得出a2=b2+c2是解题的关键.【变式1-2】（2023春八年级单元测试）如图，以ABC的两边BC、AC分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，若S1=2，S2=3，AB2=5，则ABC的形状是_三角形【答案】直角【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理的逆定理即可得出答案【详解】解：S1=2，S2=3，BC2=2，AC2=3，AB2=5，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，故答案为：直角【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和正方形面积的应用，理解勾股定理的逆

3、定理的内容是解题的关键【变式1-3】（2023春广东惠州八年级校考期中）有四种说法：三个内角之比为5:6:1； 三边形长分别为：2,7,5；三边之长为9、40、41；三边之比为1.523其中是直角三角形的有_（填序号）【答案】【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理进行求解即可【详解】解：三角形三个内角之比为5:6:1，三角形最大的内角为18065+6+1=90，该三角形为直角三角形，故正确；22+52=72，该三角形为直角三角形，故正确；92+402=412，该三角形为直角三角形，故正确；1.52+2232，该三角形不是直角三角形，故错误；故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形内角和为180度和勾股定理的逆定理是解题的关键【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】【例2】（2023春全国八年级专题练习）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有_个【答案】8【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则C=90；（2）AB为直角边，AC=2cm或BC=2

4、cm；【详解】（1）当AB为斜边时，点C到直线AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图：（2）当AB为直角边时，AC=2cm或BC=2cm，符合条件的点有4个，如图；符合要求的C点有8个；故答案是8【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键【变式2-1】（2023春八年级单元测试）在如图所示的55的方格图中，点A和点B均为图中格点点C也在格点上，满足ABC为以AB为斜边的直角三角形这样的点C有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，故选D【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键【变式2-2】（2023春全国八年级专题练习）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点若ABO是直角三角形，则m的值不可能是（）A4B2C1D0【答案】B【分析】分OAB90，OBA90，AOB90三种情况考虑：当OAB90时，点A在x轴上，进而可得出m0；当OBA90时，点B在x轴上，进而可得出

5、m5；当AOB90时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值综上，对照四个选项即可得出结论【详解】解：分三种情况考虑（如图所示）： 当OAB90时，m0；当OBA90时，m50，解得：m5；当AOB90时，AB2OA2OB2，即254m24m210m25，解得：m11，m24综上所述：m的值可以为0，5，1，4故选B【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分OAB90，OBA90，AOB90三种情况求出m的值是解题的关键【变式2-3】（2023春全国八年级专题练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上，在图中画ABC（点C在小正方形的顶点上），使ABC为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）【答案】ABC为直角三角形，理由详见解析.【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可.【详解】解：如图所示.图1图2如图1，在ABC中，AC=5，BC=3，AB2=32+52=34因为AC2+BC2=52+32=34=AB2，所以ACB=90，即ABC为直角三角形.如图2，在RtACD中，AC2=CD2+AD2=1

6、2+12=2.在RtBCE中，CB2=CE2+BE2=42+42=32.在RtABF中，AB2=AF2+BF2=32+52=34.所以AC2+CB2=AB2，所以ACB=90，即ABC为直角三角形.【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键.【题型3 在网格中判断直角三角形】【例3】（2023春北京西城八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，那么AD的长为（）A2.5B3C22D5【答案】A【分析】由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,则AC2+AB2=BC2，即ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答【详解】解：由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,AC2+AB2=BC2，即ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，AD=12BC=2.5故选：A【点睛】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识点，根据勾股定理逆定理判定ABC是直角三角形是基础，掌握斜边上的中线的性质是解题的关键【变式3

7、-1】（2023春广东湛江八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为_【答案】45【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断ABC是等腰直角三角形，进而得出结论【详解】解：如图，连接AC，由题意，AC=22+12=5 ，BC=22+12=5，AB=12+32=10，AC=BC，AB2=AC2+BC2，ABC是等腰直角三角形，且ACB=90，ABC=CAB=45故答案为：45【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键【变式3-2】（2023春广东惠州八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为 1(1)求四边形 ABCD的面积与周长；(2)求证： BCD=90【答案】(1)周长为：82+234；面积为：32(2)见解析【分析】（1）借助正方形的小格，根据勾股定理分别计算四边形的各边的长，从而求得四边形的周长；（2）在ABC中，根据勾股定理的逆定理进行判定【详解】（1）解：根据勾股定理可知AB=3 2，BC= 34，CD= 34，AD=5 2，四边形AB

8、CD的周长为32+52+34+34=82+234；面积为：881233125512531235=32（2）证明：连接BD，BC= 34，CD= 34，DB= 68，BC2+CD2=BD2BCD是直角三角形，即BCD=90【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键【变式3-3】（2023春八年级单元测试）如图所示的是25的正方形网格，点A，B，P都在网格点上，则APB=_【答案】135【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得PCB是等腰直角三角形，可得BPC=45，即可求解【详解】解：延长AP至C，连接BC，CP=CB=22+12=5，BP=32+12=10，(5)2+(5)2=(10)2，即CP2+CB2=BP2，PCB是等腰直角三角形，BPC=45，APB=18045=135，故答案为：135【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到PCB是等腰直角三角形【题型4 勾股数的探究】【例4】（2023春安徽阜阳八年级统考期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组解我们把满足该方程的正整数的解x,y,z叫做勾股数如3,4,5就是一组勾股数(1)请你再写出两组勾股数：（_），（_）；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n21，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明【答案】(1)5，12，13；7，24，25(2)证明见解析【分析】（1）根据x2+y2=z2，即可得出5，12，13

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