计算机图形学 第八章自由曲线曲面

1、第八章第八章 自由曲线曲面自由曲线曲面精选ppt8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n n位置矢量位置矢量n n空间一点空间一点A A，从原点，从原点OO到到A A的连线的连线OAOA表示的矢表示的矢量。量。n n曲线的表示形式曲线的表示形式n n空间一点的位置矢量有空间一点的位置矢量有3 3个坐标分量，而个坐标分量，而空间曲线那么是空间动点运动的轨迹，即空间矢量空间曲线那么是空间动点运动的轨迹，即空间矢量端点运动形成的矢量曲线，矢量方程为端点运动形成的矢量曲线，矢量方程为n n参数方程为参数方程为精选ppt8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n n曲线的参数表示优点曲线的参数表示优点n n有更大的自由度来控制曲线或曲面形状有更大的自由度来控制曲线或曲面形状n n可对参数曲线曲面方程直接进行几何变换，而不需要可对参数曲线曲面方程直接进行几何变换，而不需要对曲线曲面每个数据点进行几何变换对曲线曲面每个数据点进行几何变换n n可处理斜率无穷大的情况可处理斜率无穷大的情况n n对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间到高维

2、空间n n便于采用规格化的参数变量便于采用规格化的参数变量n n易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算 精选ppt8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n n曲线的矢函数求导曲线的矢函数求导又设r(u)=x(u),y(u),z(u)，因为精选ppt8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示所以所以 矢函数的导矢也是一矢函数的导矢也是一个矢函数，因此也有方向和模。当个矢函数，因此也有方向和模。当 ,c(u)/c(u)/u u 就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢。就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢。曲线的自然参数方程曲线的自然参数方程设在空间曲线设在空间曲线c(u)c(u)上任取一点上任取一点M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0)作为计算作为计算弧长起点，曲线上其他点弧长起点，曲线上其他点M(x,y,z)M(x,y,z)到到M0M0的弧长的弧长s s作为作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长那么称为自然参数。方程，弧长那么称为自然参数。精选ppt8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面

3、的表示n n曲线的法矢量曲线的法矢量设曲线自然参数方程为设曲线自然参数方程为c=c(s)c=c(s)，曲线的切矢为单位矢量，记，曲线的切矢为单位矢量，记为为 因为因为(T(s)(T(s)2 2=1=1，对左式求导，得到，对左式求导，得到说明说明T(s)T(s)与与 垂直，由于垂直，由于 不是单位矢量，可以认为不是单位矢量，可以认为其中单位矢量其中单位矢量N(s)N(s)为主法线单位矢量，简称为主法矢，为主法线单位矢量，简称为主法矢，N(s)N(s)总总是指向曲线凹入的方向。是指向曲线凹入的方向。K(s)K(s)为一标量系数，称为曲线的曲为一标量系数，称为曲线的曲率，而率，而 称为曲率矢量，其模就是曲线曲率称为曲率矢量，其模就是曲线曲率精选ppt8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示记记 称为曲率半径。称为曲率半径。设垂直于设垂直于T T和和NN的单位矢量为的单位矢量为B B，称，称B B为法线单位矢量或副法线单为法线单位矢量或副法线单位矢量位矢量由切线和主法线确定的平面称为密切平面，有主法线和副法线由切线和主法线确定的平面称为密切平面，有主法线和副法线组成的平面称为法平面，由切线和副

4、法线构成的平面称为从组成的平面称为法平面，由切线和副法线构成的平面称为从切面。切面。精选ppt8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n曲面的切矢和法矢 空间曲面采用双参数表示：当u为常数时，上式变成单参数v的矢函数，它是曲面上的空间曲线，称它为v线，同理v为常数时，那么称为u线。将矢函数S(u,v)对u求导，得切矢量切矢的方向指向参数u增长的方向，同理可求对v的切矢量。精选ppt8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示经过曲面上某点M(u,v)的切平面的法矢量为精选ppt8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n插值、逼近和拟合n型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述几何形状的数据点。n控制点 指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点。n插值和逼近 插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型严格通过的每一个型点。而逼近设计方法只是近似的接近的型值点。n拟合 指在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面到达某些设计要求。精选ppt8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n曲线段间的连续性定义nC0连续0阶参数连续前一段曲线的终点与后一段曲线的起点相同。nC1连续一阶

5、参数连续两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数。nC2连续二阶参数连续两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数和二阶导数。精选ppt8.2 贝叶斯贝叶斯Bezier曲线曲线1、Bezier曲线定义给定空间n+1个点P0,P1,Pn，称以下参数曲线为n次的Bezier 曲线。其中 是Bernstein基函数精选ppt8.2 贝叶斯贝叶斯Bezier曲线曲线一般称折线P0、P1Pn为C(u)的控制多边形，称P0、P1Pn各点为C(U)的控制顶点。控制多边形是C(u)的大致勾画，C(u)是P0、P1Pn的逼近。P0P3P1P2图8.1 Bezier曲线精选ppt8.2 贝叶斯贝叶斯Bezier曲线曲线n nBernsteinBernstein基函数性质基函数性质n n非负性非负性n n标准性标准性n n对称性对称性n n递推性递推性n n端点性端点性n n最大性最大性n n可导性可导性n n升阶公式升阶公式n n分割性分割性n n积分性积分性精选ppt8.2 贝叶斯贝叶斯Bezier曲线曲线n nBezier曲线性质端点性端点性端点切矢量端点切矢量端点曲率端点曲率对称性对称性几何不变性几何不变

6、性凸包性凸包性变差缩减性变差缩减性精选ppt8.2 贝叶斯贝叶斯Bezier曲线曲线n nBezierBezier曲线矩阵表示曲线矩阵表示一次一次BezierBezier曲线曲线 P1 P0 u图8.2 一次Bezier曲线精选ppt8.2 贝叶斯贝叶斯Bezier曲线曲线n nBezierBezier曲线矩阵表示曲线矩阵表示二次二次BezierBezier曲线曲线 P2 P0图8.3 二次Bezier曲线 P(u)Q2 P1 Q1精选ppt8.2 贝叶斯贝叶斯Bezier曲线曲线n nBezierBezier曲线矩阵表示曲线矩阵表示三次三次BezierBezier曲线曲线 P3 P0图8.3 三次Bezier曲线 P(u)P1 P2精选ppt8.2 贝叶斯贝叶斯Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的曲线的De CasteliauDe Casteliau算法算法给定三维空间点给定三维空间点P0P0、P1PnP1Pn以及一维标量参数以及一维标量参数u,u,假定：假定：并且 那么 即为Bezier曲线上参数u处的点：精选ppt8.2 贝叶斯贝叶斯Bezier曲线曲线Bezier

7、Bezier曲线的曲线的De CasteliauDe Casteliau算法算法DeCasteljau(P,n,u,C)/*Compute point on a Bezier curve using DeCasteljau algorithm*/*input:P,n,u*/*Output:C(a point)*/For(i=0;i=n;i+)Qi=Pi;For(k=1;k=n;k+)For(i=0;i0，Ni,p(u)是两个p-1次基函数的线性组合；3、计算一系列的基函数，需要指定节点矢量U和次数P；4、Ni,p(u)是一分段多项式，仅仅在u0,um区间对其感兴趣；5、ui,ui+1)称为第i个节点区段，其长度可以为0；6、假设 ，那么称上式中除tj-1,tj+k以外的每一个节点为U的k重节点。精选ppt8.4 B样条曲线样条曲线n nB样条基函数的性质n n局部性n n非负性n n标准性n n分段多项式n n连续性n n可微分性精选ppt8.4 B样条曲线样条曲线n nB B样条曲线定义样条曲线定义n n设设P0,P1,PnP0,P1,Pn为给定空间的为给定空间的n+1n+1个控制点

8、，个控制点，U=u0,u1,umU=u0,u1,um是是m+1m+1个节点矢量，称以下参数曲个节点矢量，称以下参数曲线为线为P P次的次的B B样条曲线，折线样条曲线，折线P0,P1,PnP0,P1,Pn为为B B样条曲线样条曲线的控制多边形。的控制多边形。次数p，控制顶点个数n+1，节点个数m+1具有以下关系m=n+p+1精选ppt8.4 B样条曲线样条曲线n nB样条曲线性质n n严格凸包性严格凸包性n n分段参数多项式分段参数多项式n n可微性或连续性可微性或连续性n n几何不变性几何不变性n n局部可调性局部可调性n n近似性近似性n n变差缩减性变差缩减性精选ppt8.4 B样条曲线样条曲线例题：给定控制顶点例题：给定控制顶点Pi(i=0,8),Pi(i=0,8),定义一条三次定义一条三次B B样条曲线，这样条曲线，这说明说明n=8,p=3,n=8,p=3,各种关系如下确定：各种关系如下确定：1 1、节点矢量、节点矢量2 2、曲线定义域、曲线定义域3 3、当定义域、当定义域uu3 3,u,u9 9)内不含重节点时，曲线段数内不含重节点时，曲线段数=n-p+1=6=n-p+1=

9、64 4、当、当 时，曲线时，曲线C(u)C(u)由由PPi-pi-p,P,Pi i)=P)=P3 3,P,P6 6)4)4个控制个控制顶点定义，与其他顶点无关。顶点定义，与其他顶点无关。5 5、移动、移动P P3 3时，将至多影响到定义在时，将至多影响到定义在uui i,u,ui+p+1i+p+1)=u)=u3 3,u,u7 7)区间上的区间上的那些曲线段的形状。那些曲线段的形状。6 6、在、在uu6 6,u,u7 7)上的三次上的三次B B样条基及计算定义在样条基及计算定义在uu6 6,u,u7 7)上那段三次上那段三次B B样条曲线将涉及到样条曲线将涉及到u ui-p+1i-p+1=u=u4 4,u,ui+pi+p=u=u9 9共共6 6个节点。个节点。精选ppt8.4 B样条曲线样条曲线n n重节点对重节点对B B样条曲线的影响样条曲线的影响n n节点的非均匀或非等距分布包含两层含义：节点的非均匀或非等距分布包含两层含义：1 1、节点、节点区间长度不等；区间长度不等；2 2、重节点，即节点区间长度为、重节点，即节点区间长度为0 0n n1 1、重节点的重复度每增加、重节点的重复

10、度每增加1 1，曲线段数就减，曲线段数就减1 1，同时，同时样条曲线在该重节点处的可微性或参数连续阶降样条曲线在该重节点处的可微性或参数连续阶降1 1n n2 2、当定义域端点节点重复度为、当定义域端点节点重复度为p p时，时，p p次次B B样条曲线样条曲线的端点将与相应的控制多边形的顶点重合，在端点的端点将与相应的控制多边形的顶点重合，在端点处与控制多边形相切。处与控制多边形相切。n n3 3、当端节点重复度为、当端节点重复度为p p时，时，p p次次B B样条曲线插值于相样条曲线插值于相应的控制多边形顶点。应的控制多边形顶点。n n4 4、当端节点重复度为、当端节点重复度为p+1p+1时，时，p p次次B B样条曲线就具有样条曲线就具有和和p p次次BezierBezier曲线相同的端点几何性质。曲线相同的端点几何性质。n n5 5、p p次次B B样条曲线假设在定义域内相邻两节点都具有样条曲线假设在定义域内相邻两节点都具有重复度重复度p p，可以生成定义在该节点区间内上那段，可以生成定义在该节点区间内上那段B B样样条曲线的条曲线的BezierBezier点。点。n n6 6、

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