概率论与数理统计（第二版）第6章参数区间估计2,3节

1、假定总体假定总体X的的1 1m 阶原点矩阶原点矩存在存在，第二步：第二步：用样本用样本k阶原点矩代替总体阶原点矩代替总体k阶原点矩，即阶原点矩，即矩估计法步骤：矩估计法步骤：设总体X的分布中含有m个待估的未知参数那么第一步第一步:求总体求总体X的的k阶原点矩阶原点矩解含m个参数 的m个方程组,得 以 作为参数 的估计量.第三步第三步:第四步第四步:最大似然估计最大似然估计(MLE)的步骤的步骤:第一步第一步:第二步第二步:第三步第三步:第四步第四步:第二节第二节 判别估计量好坏的标准判别估计量好坏的标准根本内容：一、无偏性一、无偏性二、有效性二、有效性三、三、一致性一致性估计量是样本的函数估计量是样本的函数,是随机变量是随机变量.故一个好的估计,应在屡次试验中表达出优良性.由不同的样本观测值,就得到不同的参数估计值.所以,估计量的评价准那么估计量的评价准那么在介绍估计量好坏的准那么前,必须强调指出:评价一个估计量的好坏评价一个估计量的好坏,不能仅仅依据一次试不能仅仅依据一次试验的结果验的结果,而必须由屡次试验结果来衡量而必须由屡次试验结果来衡量.一、无偏性一、无偏性定义：定义：假设 其

2、对应的估计量其对应的估计量 的期望等于未知参数的期望等于未知参数 的真值的真值.例例1.1.正态分布的未知参数正态分布的未知参数 ,2 2的矩估计量的矩估计量最大似然估计量相同，即解：解：由由于(1)样本均值样本均值 X 是是总体均值总体均值E(X)的无偏估计量；的无偏估计量；(3)样本样本 k 阶原点矩阶原点矩一般地，一般地，(例例1 P156)1 P156)是总体是总体k 阶原点矩阶原点矩E(Xk)的无偏估计量；的无偏估计量；(2)样本方差样本方差是总体方差是总体方差D(X)的无偏估计量；的无偏估计量；证明证明:(3)由样本的定义知，Xi与X有相同分布集中集中 设 1 和 2 都是参数 的无偏估计量,二、有效性二、有效性 即即 D(1)D(2).未知参数未知参数 的无偏估计量不是唯一的的无偏估计量不是唯一的.蓝色是采用估计量蓝色是采用估计量 1,用用 14 个样本值得到的个样本值得到的 14 个估计值个估计值.紫色是采用估计量紫色是采用估计量 2,用用 14 个样本值得到的个样本值得到的 14 个估计值个估计值.分散分散 D(1)D(2)那么称那么称 1 1 较较 2 2 有效有效

3、.都是未知参数都是未知参数 的的无偏估计量无偏估计量.当样本容量n一定时,假设在的所有无偏估计量中,假设假设解：解：故 X 比 X i(i=1,2,n)有效.当n2时，无偏估计量，问哪一个更有效？例例2.2.易知例例3.3.设X1，X2，X3是来自总体X的样本,且 统计量中哪个更有效？()总体均值E(X)=未知,那么以下4个关于 的C分析：利用分析：利用P181的的7题结论，可选题结论，可选C.三、一致性三、一致性定义：定义：证明一致估计的方法：证明一致估计的方法：回忆例子回忆例子.设总体设总体X X的概率密度为的概率密度为 X1,X2,Xn 是取自总体X 的简单随机样本,解：解：内容小结内容小结1.1.无偏性无偏性 样本样本 k 阶原点矩是阶原点矩是总体总体 k 阶原点矩阶原点矩 的无偏估计量的无偏估计量;样本方差样本方差 S 2 是总体方差是总体方差 2 的无偏估计量的无偏估计量;2.2.有效性有效性 方差更小的无偏估计量方差更小的无偏估计量.在在 的所有线性无偏估计量中的所有线性无偏估计量中,样本均值样本均值 X 是最有效的是最有效的.3.3.一致性一致性 而区间估计正好弥补了点

4、估而区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷计的这个缺陷.为了使估计的结论更可信为了使估计的结论更可信,需要引入区间估计需要引入区间估计.参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数.使用起来把握不大使用起来把握不大.点估计值仅仅是未知参数的一个近似值点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它它没有反映出这个近似值的误差范围没有反映出这个近似值的误差范围.估计量的期望等于未知参数的真值估计量的期望等于未知参数的真值.第三节 正态总体参数的区间估计根本内容：一、区间估计的概念二、正态总体均值的区间估计三、正态总体方差的区间估计给定的概率 1-(0 1),定义定义 设总体 X 的分布中含有未知参数，假设存在两个统计量 一、区间估计的概念一、区间估计的概念对于使得的置信区间置信区间,注：注：假设进行假设进行n n次独立重复抽样，得到次独立重复抽样，得到n n个样本观测值个样本观测值,根据伯努利大数定理伯努利大数定理,在这n个随机区间中,由由伯努利大数定理伯努利大数定理的解释：的解释：例如例如？二、正态总体均值二、正态总体均值 的区间估计的区间估计1.1.

5、方差方差 2=2=0202的正态总体的正态总体 X,X,求未知参数求未知参数 1-的的置信区间置信区间解：解：设总体设总体 X N(,2),有有其置信区间的长度为其置信区间的长度为标准正态分布中对称于原点的置信区间是最短的标准正态分布中对称于原点的置信区间是最短的,故假设滚珠直径服从正态分布X N(,2),并且例例1.1.滚珠的直径单位：mm如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8=0.16(mm),求滚珠直径均值求滚珠直径均值 的置信水平为的置信水平为95%的置信区间的置信区间.解：解：由上面求解 的置信水平为1-的置信区间从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得 (14.821,15.019)由分位点的定义经查表由此得代入公式2.2.未知方差未知方差 2 的的正态总体正态总体 X,求未知参数求未知参数 的的1-的的置信区间置信区间解：解：设总体设总体 X N(,2),有有由t分布的概率密度曲线关于y轴对称，对称于原点的置信区间是最短的.其置信区间的长度为其置信区间的长度为故并且方差并且方差 2未知未知,求滚珠直径均值求滚

6、珠直径均值 的置信水平为的置信水平为例例2.2.从某厂生产的滚珠直径X N(,2),滚珠的直径单位：mm如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.895%的置信区间的置信区间.抽取10个,解：解：由 的置信水平为1-的置信区间由此得得到 的95%的置信区间为代入公式(14.92-0.138,14.92+0.138)即(14.782,15.058)(mm)由 2分布的概率密度曲线是不对称的，三、正态总体方差三、正态总体方差 2 的区间估计的区间估计1-的的置信区间置信区间解：解：设总体设总体 X N(,2),有有仿照前述的置信区间取法：1.均值均值=0的正态总体的正态总体 X,求未知参数求未知参数 2故并且并且=14.9(mm),求滚珠直径求滚珠直径方差方差 2的置信水平为的置信水平为例例3.3.从某厂生产的滚珠直径X N(,2),滚珠的直径单位：mm如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.895%的置信区间的置信区间.抽取10个,解：解：由2的置信水平为1-的置信区间查表得 2分布的分位点得到 2的95%的置信区间为代入公式即(0.0166,0.1046)(mm2)2.2.未知均值未知均值 的的正态总体正态总体 X,求未知参数求未知参数 2 的的1-的的置信区间置信区间解：解：设总体设总体 X N(,2),有有仿照前面的置信区间取法：故并且并且 未知，求滚珠直径未知，求滚珠直径方差方差 2的置信水平为的置信水平为例例4.4.从某厂生产的滚珠直径X N(,2),滚珠的直径单位：mm如下:14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.895%的置信区间的置信区间.抽取10个,解：解：由2的置信水平为1-的置信区间查表得 2分布的分位点得到 2的95%的置信区间为代入公式即(0.0177,0.1243)(mm2)内容小结内容小结1.了解估计量的无偏性、有效性、一致性，2.了解正态总体下参数的区间估计。并会验证估计量的无偏性和有效性；作业作业习题六P180:4、6、9、12

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