概率论与数理统计（第二版）第5章数理统计的基本知识1-3节

1、数理统计是概率论的应用;概率论是数理统计的理论根底.前言前言2.数理统计学的根本内容数理统计学的根本内容(1)有效地收集数据；(2)对数据初步处理；运用数理统计推断方法对(3)分析数据的信息，总体进行推断和预测,得出合理的结论.1.概率论与数理统计的关系概率论与数理统计的关系2024/5/613.数理统计与计算机的结合数理统计与计算机的结合国内外著名的统计软件包:SPSS,SAS,Matlab,可以让你快速、简便地进行数据处理这大大普及了数理统计的应用.提供了强有力的技术支持.计算机的诞生与开展为统计方法(数据处理)R、Stata等,和分析,2024/5/62概率论中的一个最根本的假设在实际中,我们往往不知道随机变量不知道随机变量X确切分布确切分布,研究对象X这就是数理统计所讨论问题的应用背景.它需要用数理统计研究内容十分广泛,其中一类重要问题便是统计推断统计推断.4.实际案例的提出实际案例的提出已有的局部信息去推断整体情况.的分布.2024/5/63比方：产前筛查比方：产前筛查(唐氏综合征唐氏综合征)课题课题数据来源：温州市二医 产前筛查中心实验室血清学指标：AFP，hCG等分析：分

2、析：以AFP为例，据大量的医学统计研究说明AFP服从或近似服从正态分布，其中分布的参数未知.要分析研究此课题,首先应利用AFP的数据(20054例)对参数进行估计参数估计参数估计(第6章).2024/5/64一、总体与样本二、样本分布函数与直方图三、样本函数与统计量四、分布、t 分布、F 分布五、正态总体统计量的分布第五章第五章数理统计的根本知识数理统计的根本知识根本内容：2024/5/65第一节第一节 总体与样本总体与样本根本内容：一、总体与个体 二、(简单)随机样本 样本的分布 2024/5/66一、总体与个体一、总体与个体总体总体:把研究对象的全体称为总体(或母体).个体个体：总体中每个研究对象称为个体.例如例如,考察温医07届本科生的学习质量.温医的该届本科生的全体称为一个总体；其中的每一个本科生称为一个个体.2024/5/67总体总体个体个体例例例例1.1.1.1.考察某批电视机的寿命质量，的全体称为一个总体,这批电视机每台电视机称为一个个体.2024/5/68总体(指标)是指一个随机变量,随机变量的一个取值.通常，我们用随机变量X,Y,Z 等表示总体.因此，在理论上可以把总

3、体与概率分布等同起来把总体与概率分布等同起来.每个个体是注：注：实际上，我们常关注总体的某项或几项指标指标.2024/5/69二、随机样本二、随机样本1.1.样本的定义样本的定义样本中所包含个体的数量n称为样本容量样本容量.从总体X中，随机地随机地抽取n个个体：称为总体X的一个样本样本，记为注注:2024/5/610(2)样本是被调查的100名08届该专业本科毕业例例2.2.(1)总体是该地区08届该专业本科毕业生月薪;(3)样本容量是100.为了了解生命与科学专业本科毕业生的月薪情况，本科生的月薪情况，试问(1)什么是总体？(2)什么是样本？(3)样本容量是多少？生的月薪；调查了某地区100名2021届该专业的解:2024/5/6112.2.样本值样本值每一次抽取所得到的n个确定的具体数值，记为称为样本的一个样本值样本值(观察值观察值).数理统计的根本任务是：根据从总体中抽取的数理统计的根本任务是：根据从总体中抽取的样本，利用样本的信息推断或预测总体的情况样本，利用样本的信息推断或预测总体的情况.2024/5/6123.3.简单随机样本简单随机样本两个特征：获得简单随机样本的抽样方法

4、称为简单随机抽样简单随机抽样.(1)代表性：代表性：(2)独立性：独立性：假设来自总体X的样本具有以下中每一个与总体 X有相同的分布.是相互独立的随机变量.为容量 n的简单随机样本.那么称注：注：今后今后,凡提到样本都是指简单随机样本凡提到样本都是指简单随机样本.2024/5/613实际中，怎么样抽取简单随机样本？实际中，怎么样抽取简单随机样本？一般情况下总体都是有限总体.总体中个体总数不是太大时，可得到简单随机样本,当总体中个体总数比样本容量大得多时,采用不放回抽样方式,可近似得到简单随机样本.对于有限总体,采取放回抽样方式,2024/5/614补充：随机变量的独立性随机变量的独立性定义：设X与Y是两个随机变量，假设对于任意的实数x与y,有即那么称X与Y是相互独立的.2024/5/615(1)离散随机变量X与Y相互独立(X,Y)的联合概率函数p(x,y)=pX(x)pY(y);(2)连续随机变量X与Y相互独立(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y)=fX(x)fY(y).随机变量的独立性可以扩充到n个随机变量的情形.2024/5/616定理定理定理定理4.4.样本的分布样本的分布20

5、24/5/617注注:熟记以上三种不同情形下样本的联合概率分布的具体形式是解决问题的关键!2024/5/618设总体X服从参数为是来自于总体的样本,的联合概率函数.解解:总体X 的概率函数为所以的联合概率函数为因为独立同分布，例例例例4.4.4.4.的Poisson分布,求此样本且服从泊松分布.2024/5/619例例5.5.设总体X服从正态分布从总体 X中抽取样本概率密度函数.求解解:其概率密度为的联合概率密度函数为的联合2024/5/620u 用样本直方图来推断总体的概率密度函数u 用样本分布函数来推断总体的分布函数第二节第二节 直方图直方图 样本分布函数样本分布函数根本思路：2024/5/621Step 3:计算样本观测值落在各子区间的频数计算样本观测值落在各子区间的频数 及频率及频率 ;Step 2:适中选择边界点适中选择边界点a、b，使，使把区间把区间(a,b)分成分成l 个子区间个子区间Step 1:找出找出 直方图的具体步骤：直方图的具体步骤：Step 4:画直方图：以每个子区间长画直方图：以每个子区间长 为底为底,以相应的以相应的 为高作长方形为高作长方形,这一系列长方

6、形构成样本频率直方图这一系列长方形构成样本频率直方图.一、直方图一、直方图histogram 和分点和分点(8 l15):2024/5/622某工厂测量某工厂测量100100个自动车床的质量个自动车床的质量,459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310

7、851例例6.6.如下：如下：得到样本观测值得到样本观测值2024/5/623SPSS SPSS 软件中，画出自动车床质量软件中，画出自动车床质量X的直方图：的直方图：2024/5/624是来自总体是来自总体X中样本中样本把观测值从小到大排列把观测值从小到大排列:那么样本分布函数那么样本分布函数的观测值的观测值,二、样本分布函数二、样本分布函数2024/5/625样本分布函数样本分布函数Fn(x)的性质的性质样本分布函数Fn(x)近似于总体分布函数F(x)当n时,2024/5/626第三节 样本函数与统计量根本内容：一、统计量的定义 二、常用统计量及其性质2024/5/627一、一、统计量统计量由样本推断总体情况,需要对样本进行“加工,定义定义定义定义.信息集中起来.这就需要构造一些样本的函数,它把样本中所含的统计量统计量.2024/5/628注注:2统计量用于统计推断,3 统计量是样本的函数,总体总体 X 的未知参数的未知参数;统计量的分布称为抽样分布抽样分布.故不应含任何关于不应含任何关于它是一个随机变量,2024/5/629(未知)的Poisson分布,为来自总体的样本，判断以下

8、那些是统计量？设总体X服从参数为例例例例7.7.7.7.是是不是不是是是2024/5/630例例8.8.其中 ,未知,设 X1,X 2,X3 来自正态总体 X(,2)的样本,问以下哪些是统计量?()A.(X1+X2+X3)/3;D.X1；E.Max X1,X2,X3.ABDE2024/5/631(1)样本均值样本均值其观测值1.1.样本矩的定义样本矩的定义可用于推断：总体均值可用于推断：总体均值 E(X).它反映了它反映了总体均值总体均值的信息的信息二、几个常用统计量二、几个常用统计量2024/5/632其观测值可用于推断：总体方差可用于推断：总体方差D(X).(2)样本方差样本方差它反映了它反映了总体方差总体方差的信息的信息2024/5/633(3)样本标准差样本标准差其观测值2024/5/634其观测值(5)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩其观测值(4)样本样本k 阶原点矩阶原点矩 比较总体比较总体k k 阶原点矩阶原点矩E(Xk)E(Xk)比较总体比较总体k k 阶中心矩阶中心矩EX-EX-E(X)kE(X)k2024/5/6352.2.样本矩的性质样本矩的性质2024/5/636

9、例例例例8.8.8.8.设总体 X 服从两点分布 B(1,p),是来自于总体分布的样本，是样本均值与样本方差，试计算：解解:利用样本矩的性质得由两点分布知 E(X)=p,D(X)=p(1-p),2024/5/637内容小结内容小结1.理解总体和个体、样本和样本值、样本函数和统计量的概念；说明说明:一个总体对应一个随机变量一个总体对应一个随机变量X,我们将不我们将不区分总体区分总体和相应的随机变量和相应的随机变量,统称为总体统称为总体X.总体(理论分布)样本样本值总体、样本、样本值的相互关系:(抽样抽样)(推断推断)2024/5/6382.掌握样本的分布、常用统计量的概念及性质；样本均值样本方差两个重要统计量:两个重要统计量的性质：2024/5/6393.了解样本频率直方图、样本分布函数.通过样本频率直方图或样本分布函数图来推断总体通过样本频率直方图或样本分布函数图来推断总体的分布情况的分布情况.2024/5/640作业作业习题五(P145):1、2、15习题六P1802中，求样本的概率密度函数.2024/5/641备用题备用题A.独立但分布不同；B.分布相同但不相互独立;C.独立同分布;D.不能确定.1.设X1,X2,Xn是来自总体X的简单随机样本,那么X1,X2,Xn必然满足 .2.2024/5/6423.().2024/5/643分析：分析：1.由简单随机样本简单随机样本的定义知,应选C.2.由于统计量统计量中不含任何未知参数，应选D.3.由样本矩的性质 应选B.2024/5/644设总体 X 服从参数为是来自于总体的样本,的联合概率密度函数.解解:总体X 的概率密度函数为所以的联合概率密度函数为因为独立同分布，4.4.4.4.的指数分布,求此样本且服从指数分布.2024/5/645

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