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概率论与数理统计（第二版）第2章随机变量及其分布9节

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常见问题

1、第九节第九节随机变量函数的分布随机变量函数的分布X-1012pk0.20.30.10.4一、一维随机变量函数的分布一、一维随机变量函数的分布求Y=(X-1)2的概率分布例1 设随机变量X的概率分布如下，解：Y的所有可能取值为0,1,42024/5/61例例2.设随机变量设随机变量X有概率密度有概率密度解：分别记解：分别记X，Y的分布函数为的分布函数为求随机变量求随机变量Y=2X+8的概率密度。的概率密度。2024/5/62例例3.设随机变量设随机变量X在区间在区间-1,2上服从均匀分布，上服从均匀分布，解解:当当X在区间在区间-1,2上取值时上取值时,Y在在0,1或或1,4取值取值求随机变量求随机变量Y=X2的概率密度。的概率密度。由于由于y=x2不是单调的，不是单调的，2024/5/63例例3.设随机变量设随机变量X在区间在区间-1,2上服从均匀分布，上服从均匀分布，求随机变量求随机变量Y=X2的概率密度。的概率密度。解解:所以所以Y的分布函数为的分布函数为上式对上式对y求导数，得求导数，得Y的概率密度为的概率密度为2024/5/641）3）在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函

2、在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的分布问题。例如：在以下系统中，每个元件的数的分布问题。例如：在以下系统中，每个元件的寿命分别为随机变量寿命分别为随机变量 X,Y，它们相互独立同分布。，它们相互独立同分布。我们想知道系统寿命我们想知道系统寿命 Z 的分布。的分布。这就是求随机变量函数的分布问题。这就是求随机变量函数的分布问题。2）二、多维随机变量函数的分布二、多维随机变量函数的分布2024/5/65解题步骤：解题步骤：1.一般情形问题一般情形问题二维随机变量二维随机变量X,Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),g(x,y)是二元连续函数，欲求随机变量是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g(X,Y)的概率密度。的概率密度。2024/5/662.和的分布和的分布例例 31离散型随机变量和的分布离散型随机变量和的分布2024/5/672024/5/68例例4 42024/5/692024/5/6102 2连续型随机变量和的分布连续型随机变量和的分布x+y=z2024/5/6112024/5/612由于由于 X,Y 的对称性可得的对称性可得2024/5/6132024/5/614例例5.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，概率密度分别是相互独立，概率密度分别是解解:Z的分布函数为的分布函数为求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。2024/5/615Z的分布函数x+y=z2024/5/6163.极值分布极值分布解：2024/5/617解：2024/5/6182024/5/619习题二(P65)：27,30作业作业2024/5/620

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