（考黄金）高考数学一轮检测 第25讲 直线与圆锥曲线的位置关系（含曲线与方程）精讲 精析 新人教A版

1、 2013年考题1.（2013北京高考）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C直线上的所有点都不是“点” D直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【解析】选A.本题采作数形结合法易于求解，如图，设，则，消去n,整理得关于x的方程 （1）恒成立，方程（1）恒有实数解，应选A. 2.（2013全国）已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A. B. C. D. 【解析】选D.设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为.3.（2013四川高考）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2 B.3 C. D. 【解析】选A.直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。4. （2013江苏高考）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其

2、右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【解析】直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：， 则在椭圆上，解得：答案：.5.（2013海南宁夏高考）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_.【解析】抛物线的方程为，答案：y=x6.（2013海南宁夏高考）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。【解析】设抛物线方程为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得：x2kx0，k22，故.答案：7.（2013上海高考）过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，则= 。 【解析】直线方程为yx1，代入抛物线，得：x24x10，4，1，则.答案：8.（2013广东高考）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； （2）若曲线与有公共点，试求的最小值【解析

3、】（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.xAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与有公共点；当时，要使曲线与有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.9.（2013广东高考）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. ( 2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外；若，由可知点（-6，0）在圆外.不论K为何值圆都不能包围椭圆G.10.（2013海南宁夏高考）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 【解析】()设椭圆长半

4、轴长及半焦距分别为，由已知得，w.w 所以椭圆的标准方程为.（）设，其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得，其中。（i）时,化简得 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分.当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆.11.（2013山东高考）设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。【解析】（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而

5、当切线的斜率不存在时切线方程为，与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以，当且仅当时取“=”.当时,.当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: .12.（2013天津高考）已知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。求椭圆的离心率； 求直线AB的斜率； 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值.【解析】（1）由/且，得，从而 整理，得，故离心率.（2）由（1）得，所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为，即. 由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 联立解得，将代入中，解得.(3)解法一：由（II）可知 当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ， 由解得故当时，同理可得. 解法二：由（II）可知当时，得,由已知得由椭圆的对称性可知B，C三点

6、共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形.由直线的方程为,知点H的坐标为.因为，所以，解得m=c（舍），或.则，所以. 当时同理可得.13.（2013浙江高考）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为 （I）求椭圆的方程； （II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值【解析】（I）由题意得所求的椭圆方程为， （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则， 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为114.（2013浙江高考）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为 （I）求与的值； （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点若是的切线，求的最小值【解析】（）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，

7、将代入抛物线方程，解得.（）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。则，当 则。联立方程，整理得： 即：，解得或，而，直线斜率为，联立方程整理得：，即： ，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率：.MN是抛物线的切线， 整理得，解得（舍去），或，.15.（2013安徽高考）已知椭圆（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，（）求a与b； （）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交于点p.求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。【解析】（1）由于 ， b2=2,a2=3因此，. （2）由（1）知F1，F2两点分别为（-1，0），（1,0），由题意可设P（1，t）.（t0）.那么线段PF1中点为，设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于则消去参数t得,其轨迹为抛物线（除原点）.16.（2013辽宁高考）已知椭圆C过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。求椭圆C的方程；E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 【解析】（）由

8、题意，c1,可设椭圆方程为。 因为A在椭圆上，所以，解得3，（舍去）。所以椭圆方程为 （）设直线方程：得，代入得 设（，），（，）因为点（1，）在椭圆上，所以， 。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，。所以直线EF的斜率。即直线EF的斜率为定值，其值为。 17.（2013福建高考）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。 （I）求椭圆的方程； （）求线段MN的长度的最小值； （）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由。【解析】解法一：（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又 由得故又.当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值.（）由（）可知，当取最小值时， 此时的方程为要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或.|18.（2013上海高考） 我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径百公里）的中心为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为百公里，远火星点（轨道上离火星表面最

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