小学数学奥数方法讲义40讲(四)
97页1、第三十一讲 分解质因数法 通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数,来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用,在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法,有益于开辟解题思路,启迪创造性思维。例1 一块正方体木块,体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米?(适于六年级程度)解:把1331分解质因数:1331=111111答:这块正方体木块的棱长是11厘米。例2 一个数的平方等于324,求这个数。(适于六年级程度)解:把324分解质因数:324= 223333=(233)(233)=1818答:这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462,求这两个数。(适于六年级程度)解:把462分解质因数:462=23711=(37)(211)=2122答:这两个数是21和22。*例4 ABCD=1673,在这个乘法算式中,A、B、C、D代表不同的数字,ABC是一个三位数。求ABC代表什么数?(适于六年级程度)解:因为ABCD=1673,ABC是一个三位数,所以可把16
2、73分解质因数,然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式,这个三位数就是ABC所代表的数。1673=2397答:ABC代表239。例5 一块正方形田地,面积是2304平方米,这块田地的周长是多少米?(适于六年级程度)解:先把2304分解质因数,并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数,每组质因数的积就是正方形的边长。2304=2222222233=(22223)(22223)=4848正方形的边长是48米。这块田地的周长是:484=192(米)答略。*例6 有3250个桔子,平均分给一个幼儿园的小朋友,剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友?(适于六年级程度)解:3250-10=3240(个)把3240分解质因数:3240=23345接近40的数有36、37、38、39这些数中36=2232,所以只有36是3240的约数。23345(2232)=2325=90答:这个幼儿园有90名小朋友。*例7 105的约数共有几个?(适于六年级程度)解:求一个给定的自然数的约数的个数,可先将这个数分解质因数,然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积
3、逐一由小到大写出,再求出它的个数即可。因为,105=357,所以,含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个;含有两个质数的乘积的约数有35、37、57共3个;含有三个质数的乘积的约数有357共1个。所以,105的约数共有4+3+1=8个。答略。*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组,使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少?(适于六年级程度)解:将这九个数分别分解质因数:15=3522=21130=23535=5739=31344=221152=221377=71191=713观察上面九个数的质因数,不难看出,九个数的质因数中共有六个2,三个3,三个5,三个7,三个11,三个13,这样每组中三个数应包括的质因数有两个2,一个3,一个5,一个7,一个11和一个13。由以上观察分析可得这三组数分别是:15、52和77;22、30和91;35、39和44。答略。*例9 有四个学生,他们的年龄恰好一个比一个大一岁,他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁?(适于六年级程度)解:把5040分解质因数:5040=22223357由于四
4、个学生的年龄一个比一个大1岁,所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是:7,222,33,25即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。答略。*例10 在等式35( )8127=718( )162的两个括号中,填上适当的最小的数。(适于六年级程度)解:将已知等式的两边分解质因数,得:5377( )=22367( )把上面的等式化简,得:15( )=4( )所以,在左边的括号内填4,在右边的括号内填15。15(4)=4(15)答略。*例11 把84名学生分成人数相等的小组(每组最少2人),一共有几种分法?(适于六年级程度)解:把84分解质因数:84=2237除了1和84外,84的约数有:2,3,7,22=4,23=6,27=14,37=21,223=12,227=28,237=42。下面可根据不同的约数进行分组。842=42(组),843=28(组),844=21(组),846=14(组),847=12(组),8412=7(组),8414=6(组),8421=4(组),8428=3(组),8442=2(组)。因此每组2人分42组;每组3人分28组;每组4
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