1 认识二元一次方程组12

1、课例认识二元一次方程组（河南省驻马店市第二初级中学 李栓红）1 以史激趣，引入新课幻灯片出示鸡兔同笼的相关图片和内容：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何？”教师：你们知道吗？鸡兔同笼问题是我国古代著名的算题之一，记载于孙子算经。而孙子算经成书于一千五百多年前。所以每次看到这个小问题，对“大道至简”就理解得更为深刻。一位善于观察，热爱思考的智者，面对我们司空见惯的情景一笼鸡兔，竟然巧妙的将数学与生活结合起来，演绎出一道流传千古的数学趣题。至今它仍然作为我们中小学教材中不可或缺的素材。小学时，老师用它来激发同学们学习数学的兴趣，同时也训练你们的思维；今天我们将继续借助这个问题来探讨数学。今天我们将用方程的方法来解决这一问题。同学们，你会列方程吗？学生1：设鸡有x只，则兔有（35-x)只，依题意得2x+4(35-x)=94。教师：很好。同学们，这位同学列的方程你熟悉吗？对，是我们七年级学习的一元一次方程。还有不同的方法吗？学生2：设鸡有x只，兔有y只，依题意得x+y=35和2x+4y=94。教师：你为什么设两个未知数？学生2：因为问题中有两个未知量。教师：很好，看来有两

2、个未知量的问题，我们除了列一元一次方来解决外，我们还可以设两个未知数来列方程解决问题。同学们观察第二位同学所列的方程和我们学习的一元一次方程有什么不同？对，含有两个未知数，而且列了两个方程。这就是我们今天要学习的内容认识二元一次方程组。（板书课题“认识二元一次方程组”）2 创设情境，生成概念幻灯片出示老牛与小马之间的“包裹问题”。老牛：累死我了！小马：你还累？这么大的个，才比我多驮2个。老牛：哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！小马：真的？！教师：我们要帮小马解开它的困惑，我们需要帮小马求出什么？是的，我们要求出老牛和小马各驮了多少个包裹？我们应该怎样解决？学生3：设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，依题意得x-2=y 和x+1=2(y-1)。教师：很好，你列的两个方程所依据的等量关系是什么？学生3：第一个方程是根据老牛比小马多驮两个，即“老牛的-小马的=2”；第二个方程是根据小马的包裹给老牛一个后，老牛的包裹数就是小马的2倍，即“老牛的+1=2（小马的-1）”我们根据两个情景得到了四个方程，观察这四个方程，你认为它们有什么共同点？学生4：它们都有两个未知数，并且未知数的指数

3、都是1。教师：还有不同的发现吗？学生5：应该是所含未知数的项的次数为1。教师：同学们根据自己的理解，说出了这类方程的共同点。但是数学追求严谨，我们来看二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。在这里我们根据题意列出的四个方程中，未知数的指数都是1，所含未知数的项的次数也都是1。那么未知数的指数与所含未知数的项的次数相同吗？你能举例说明吗？学生6：比如6xy=7这个方程中，6xy这一项的次数为2，但这一项中x、y的指数均为1。教师：很好。这位同学帮我们重温了项的次数与未知数的指数的区别，这将很好的帮我们认识二元一次方程的概念：方程中除了含有两个未知数，所含未知数的项的次数都是1。幻灯片出示问题：方程x-y=2和 x+1=2(y-1)中， x 所代表的对象相同吗？ y 呢？学生7：方程x-y=2和x+1=2(y-1)中，x，y所代表的对象分别相同，x代表老牛驮的包裹数，y代表小马驮的包裹数。教师：很好，因而x，y必须同时满足方程x-y=2和x+1=2(y-1)，联立得，象这样的一组方程就称为二元一次方程组。观察我们列出的方程组结合你的理解，你

4、能谈谈二元一次方程组应该满足什么条件？学生8：两个方程都是二元一次方程。学生9：两个方程所含的未知数应该相同。教师：同学们的观察很到位，理解的也基本正确。我们来看二元一次方程组的定义， 像这样,共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。我们来共同理解一下二元一次方程组的定义：“共含有两个未知数”所指的范围是什么？“两个一次方程”对两个方程的要求又是什么？和你的理解相同吗？对，整个方程组共含有两个未知数，而两个方程必须是一次的。同学们，根据定义和你的理解，举一个二元一次方程组的例子，并在同位之间交流、判断，看谁列的二元一次方程组正确？然后把你们无法确定的拿出来，我们来共同判断。(交流大约2分钟后，学生们提出如下方程组)、 、 、 （和学生一起，根据二元一次方程组的定义判断，得到、是二元一次方程组，但、不是二元一次方程组。）我们知道满足方程的未知数的值叫做方程的解。对于二元一次方程来说，我们又怎样判断它的解呢？（幻灯片出示问题）(1)x=3,y=1适合方程 x-y=2吗?你是怎样判断的？x=7,y=5呢？你还能找到其他x，y的值适合方程 x-y=2吗?你是怎样确定

5、的？(2) x=7,y=5 适合方程x+1=2(y-1)吗?谈谈你的方法。x=3,y=3呢？(3)你能找到一组 x，y值，同时适合x-y=2和x+1=2(y-1)吗? 你是怎样判断的？你还能找到一组同时适合这两个方程的未知数的值吗？教师：适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。而二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。由于二元一次方程中含有两个未知数，所以满足方程的两个未知数的值才叫方程的一个解，所以我们通常用大括号把两个未知数的值联立起来。例如：x=1，y=7是方程x+y=8的一个解，记作。（关于问题（1），学生经过尝试，每个同学都能找到一组使方程成立的未知数的值，而且不同的同学找的未知数的值不相同，学生初步感受到二元一次方程有很多解。关于问题（3）学生经过寻找，找不到第二组适合两个方程的公共解，学生初步感受一般的二元一次方程组只有一个解。回应开头的两个问题，学生逐步明白在解决含有两个未知量的实际问题时，如果设两个未知数，列一个方程无法解决问题，而要列一个二元一次方程组来解决。）教师：你是怎样理解公共解的？结合下面的例子谈谈你的看法。

6、例如，就是二元一次方程组的解。学生10：既适合方程（1），也适合方程（2），所以是两方程的公共解，即是二元一次方程组的解。3 随堂练习，巩固提高1.在下列四组数值中，（ ）是二元一次方程x-3y=1的解。（A） （B）（C） （D）2二元一次方程组的解是（ ）（A） （B）（C） （D）。3.某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划播长度为15秒和30秒的两种广告。若要求每种广告播放不少于2次。请问两种广告播放次数有几种安排方式？（问题1、2学生用尝试法很容易就找到了答案，只是问题1学生找的答案不全面。问题3有学生用假设法找到了答案，有学生用列二元一次方程，通过找整数解来解决问题。但学生易忽略“每种广告播放不少于2次”这一条件，在这里强调读题、审题对解决问题也至关重要。肯定两种解法，但更提倡第二种解法。）4. 七嘴八言谈困惑教师：同学们经过一节课的学习，你有什么收获，还有什么困惑？学生11:二元一次方程x+y=0和2x+2y=3构成的方程组有解吗？解是多少？ 学生12：没有解。因为x+y=0,所以x=-y,所以2x+2y=3可以变形为-2y+2y=3,即0=3矛盾。教师：很好。看来不

7、是所有的二元一次方程组都只有一个解，还有没解的情形。学生13：既然，那么+y=5为什么不是二元一次方程？教师：很好，这位同学给我们提出了一个问题，大家下去查阅一下资料，看这类问题是不是二元一次方程？4 布置作业 习题5.1 知识技能部分 第3题和数学理解部分 第5题。 自己的看法作为概念课，一直觉得比较难讲，因为概念抽象，概念课相对枯燥乏味。作为教师怎样把概念课讲得幽默风趣，把概念讲得通俗易懂，是一个教师应该思考并且努力践行的事情。本节课用鸡兔同笼作为引例，而没有按照教材直接从“包裹问题”入手，并且删去了教材上的“门票问题”。这样设计的目的是为了激发学生学习数学的兴趣，让学生感受数学源于生活，让学生明白数学也源远流长，有着悠久而丰满的历史。本节课的特点是概念虽不算太难懂，但概念较多，有四个概念，而且这些概念之间比较孤立。怎样把这些概念有机的连贯起来，是本节课的着力点之一。从实际问题得到方程，产生概念之后，怎样回应开篇的实际问题，怎样结合实际问题让学生初步感受二元一次方程有无数个解，而一般的二元一次方程组通常只有一个解，从而突破难点，是本节课的第二个着力点。但是本节课的处理还存在着很多问题，望同仁们多提宝贵意见！

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