高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系教师用书 理

1、第二节两条直线的位置关系2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离；3.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直。2016，全国卷，4,5分(点到直线的距离)2015，广东卷，4,5分(平行直线)2014，福建卷，5,5分(两条直线垂直)2013，全国卷，12,5分(直线分割三角形)本节知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是以客观题出现。微知识小题练自|主|排|查1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2。特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行。与AxByC0平行的直线，可设为AxBym0(mC)。(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直

2、线垂直。与AxByC0垂直的直线可设为BxAyn0。2两直线相交(1)交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应。(2)相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。(3)平行方程组无解。(4)重合方程组有无数个解。3三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为|AB|。(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离为d。(3)两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20(C1C2)间的距离为d。4对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P(2ax0,2by0)。(2)设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点为P(x，y)，则有可求出x，y。微点提醒1对于直线l1与直线l2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围。2求解点到直线、两平行线间的距离时，注意直线方程要用一般式。小|题|快|练一 、走进教材1(必修2P114B组T1)与直线3x4y50关于x轴对称的直线的方程为()A3x4y50B3x4y50C3x4y50 D3x4y50【解析】设所求直线上任一点的坐标为(x，y)，

3、关于x轴的对称点的坐标(x，y)在已知的直线上，所以所求直线方程为3x4y50。故选B。【答案】B2(必修2P114A组T10改编)两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为()A. B.C7 D.【解析】由题意知a6，直线3x4y120可化为6x8y240。所以两条平行直线之间的距离为。故选D。【答案】D二、双基查验1过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10【解析】设与直线x2y20平行的直线方程为x2ym0，又直线过点(1,0)，所以1m0，m1。故选A。【答案】A2若直线axy50与x2y70垂直，则实数a的值为()A2 B.C2 D【解析】直线axy50的斜率可记为k1a，直线x2y70的斜率可记为k2，若两直线垂直，则k1k21，即a1，得a2。故选A。【答案】A3直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是_。【解析】在直线x2y10上任取两点(1,1)，这两点关于直线x1的对称点分别为(1,1)，过这两点的直线方程为y1(x1)，即x2y30。【答案】x2y304已知点A(3,2)和B(1,4)到直

4、线axy10的距离相等，则a的值为_。【解析】由点到直线的距离公式可知。解得a4或。【答案】4或5(2016呼和浩特模拟)点P(1,3)到直线l：yk(x2)的距离的最大值等于_。【解析】点P(1,3)到直线l：yk(x2)的距离为d3，由于1，当且仅当k1时取等号，所以d3，即距离的最大值等于3。【答案】3微考点大课堂考点一 两条直线的平行与垂直【典例1】(1)若直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)ya210平行，则a_。(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_。【解析】(1)直线l1：ax2y60的斜率为，在y轴上的截距为3。又因为直线l1与直线l2平行，所以直线l2：x(a1)ya210的斜率存在且等于，在y轴上的截距为(a1)。由两直线平行得，且3a1，解得a2或a1。(2)解法一：l1l2，k1k21，即1，解得a2。解法二：l1l2，a20，a2。【答案】(1)2或1(2)2反思归纳(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况。同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件。(

5、2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论。【变式训练】已知两直线l1：xysin10和l2：2xsiny10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2。【解析】(1)解法一：当sin0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2。当sin0时，k1，k22sin。要使l1l2，需2sin，即sin。所以k，kZ，此时两直线的斜率相等，在y轴上截距不等。故当k，kZ时，l1l2。解法二：由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin，所以k，kZ。又B1C2B2C10，所以1sin0，即sin1。故当k，kZ时，l1l2。(2)因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sinsin0，即sin0，所以k，kZ。故当k，kZ时，l1l2。【答案】(1)k(kZ)(2)k(kZ)考点二 两条直线的交点问题【典例2】求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程。【解析】解法一：先解方程组得l1、l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，则直线l的方程为y2(

6、x1)，即5x3y10。解法二：由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10。解法三：由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0。其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10。【答案】5x3y10反思归纳常用的直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0 (mR且mC)；(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0 (mR)；(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R)，但不包括l2。【变式训练】已知直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，则直线l的一般式方程为_。【解析】解法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10。解法二：设直线l的方程为y2k(x1

7、)，即kxyk20。由得x。由得x。则2，解得k3。因此直线l的方程为y23(x1)，即3xy10。【答案】3xy10考点三 距离公式的应用【典例3】已知点P(2，1)。(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。【解析】(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2。若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10。由已知得2，解得k。此时l的方程为3x4y100。综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100。(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图。由lOP，得klkOP1，所以kl2。由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50。所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为。(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线。【答案】(1)x2或3x4y100(2)(3)不存在，理由见解析反思归纳利用距离公式应注意1点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；2两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等。【变式训练】(1)平行于直线3x4y20，且与它的距离是1的直线方程为_。(2)直线l经过点P(2，5)且与点A(3，2)和点B(1,6)的距离之比为12，求直线l的方程。【解析】(1)设所求直线方程为3x4yc0(c2)，则d1，解得c3或c7，所求直线方程为3x4y30或3x4y70。(2)当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x2，点A到直线l的距离为d11，点B到直线l的距离为d23，不符合题意，故直线l的斜率必存在。设直线l的方程为y5k(x2)，即kxy2k50，则点A(3，2)到直线l的距离d1，点B(1,6)到直线l的距离d2，d1d212，解得k1或k17。所求直线方程为xy30和17x

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