中考数学一轮复习提升练习第3.8讲 抛物线与几何综合题（题型突破+专题精练）（含解析）

1、题型突破专题训练题型一抛物线与三角形有关问题1如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解【详解】解：（1）抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0）， 解得 此抛物线的解析式为： （2）当时，所以，OB=OC=3，是等腰直角三角形，以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，是等腰直角三角形，设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线，设BC的解析式为，将B（3，0），C（0，3）代入得，解得，故BC的解析式为，把代入得，则E点坐标为，如图，当E为直角顶点时，解得，（舍去），

2、把代入得，则P点坐标为， 当Q为直角顶点时，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，则P点坐标为； 当P为直角顶点时，作PMEQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），则P点坐标为； 综上，P点坐标为或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接(1)求线段AC的长；(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当，分别列出等式求解即可(1)与x轴交点：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），与y轴交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），AO=1,CO=3,

3、;(2)抛物线的对称轴为：x=1，设P（1，t）， t=-1，P（1，-1）；(3)设点M（m,m2-2m-3），,当时，解得，（舍），M（1，-4）；当时，解得，（舍），M（-2，5）；当时，解得，M或；综上所述：满足条件的M为或或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题3.如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且(1)求二次函数的解析式；(2)如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值【答案】(1)；(2)P（1+）或（1-）；(3)【分析】（1）在RtAOC中求出OC的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，将点C的坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P（a，），可表示出BCD的面积，作PEAB交BC于

4、E，先求出直线BC，从而得到E点坐标，从而表示出PBC的面积，根据SPBC=SBCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PNAB于N，交BC于M，根据P（t，），M（t，），表示出PM的长，根据PNOC，得出PQMOQC，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果(1)A（-1，0），OA=1，又AOC=90，tanOAC=，OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），将C点坐标代入得：a=1，y=（x+1）（x-2）=；(2)设点P（a，），如图所示，当点P在第三象限时，作PEAB交BC于E，B（2，0），C（0，-2），直线BC的解析式为：y=x-2，当时，x=y+2=，PE=，SPBC=PEOC，抛物线的对称轴为y=，CDx轴，C（0，-2），点D（1，-2），CD=1，SBCD=CDOC，PEOC=CDOC，a2-2a=1，解得a1=1+（舍去），a2=1-；当x=1-时，y=a-1=-，P（1-，-），如图，当点P在第一象限时，作PEx轴于点E，交直线BC于F，F（a，a-2），PF=（）

5、-（a-2）=，SPBC=PFOB=CDOC，=1，解得a1=1+，a2=1-（舍去）；当a=1+时，y=，P（1+，），综上所述，P点坐标为（1+）或（1-）；(3)如图，作PNAB于N，交BC于M，由题意可知，P（t，），M（t，t-2），PM=（t-2）-（）=-，又PNOC，PQMOQC，+，当t=1时，()最大=【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键4.如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，（1）求，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点试探究：在直线上是否存在点，使得以点，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点当时，请直接写出的长【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：；（2）存在，点的坐标为或；【分析】（1）分别令和时即可求解，三点的坐标，然后再进行求

6、解直线，的函数表达式即可；（2）设点的坐标为，其中，由题意易得，当时，以，为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当时，是菱形，当时，是菱形，然后分别求解即可；由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，进而可得，设点，然后可求得直线l的解析式为，则可求得点，所以就有，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解【详解】解：（1）当时，解得，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标为，当时，点的坐标为，设直线的函数表达式为，代入点A、C的坐标得：，解得：，直线的函数表达式为：同理可得直线的函数表达式为：；（2）存在设点的坐标为，其中，点，点的坐标分别为，当时，以，为顶点的四边形是平行四边形，当时，是菱形，如图所示：，解得，（舍去），点的坐标为，点的坐标为；当时，是菱形，如图所示：，解，得，（舍去），点的坐标为，点的坐标为；综上所述，存在点，使得以，为顶点的四边形为菱形，且点的坐标为或；由题意可得如图所示：由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，

7、点的坐标为，点，设点，设直线l的解析式为，把点M的坐标代入得：，解得：，直线l的解析式为，联立直线l与直线AC的解析式得：，解得：，点，点是直线下方抛物线上的一个动点，且，点M在点N的上方才有可能，解得：（不符合题意，舍去），由两点距离公式可得【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键5.如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，或；（3）点，最短路程为，理由见详解；（4）存在，当以点Q为直角顶点的等

8、腰时，点或，理由见详解【分析】（1）由题意易得，然后设二次函数的解析式为，进而代入求解即可；（2）由题意易得，要使以点P、C、M为顶点的三角形与MNB相似，则可分当时，当时，进而分类求解即可；（3）由题意可得作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，最后求解即可；（4）由题意可分当点Q在第二象限时，存在等腰，当点Q在第一象限时，存在等腰，然后利用“k型”进行求解即可【详解】解：（1），设二次函数的解析式为，代入点C的坐标可得：，解得：，二次函数的解析式为，即为；（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与MNB相似，理由如下：由（1）可得抛物线的解析式为，则有对称轴为直线，设直线BC的解析式为，代入点B、C坐标可得：，解得：，直线BC的解析式为，点，由两点距离公式可得，若使以点P、C、M为顶点的三角形与MNB相似，则有，当时，则有轴，如图所示：点，当时，如图所示：，点；（3）由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示：OC=8，点D为CO的中点，OD=4，抛物线的对称轴为直线，设直线HI的解析式为，则把点H、I坐标代入得：，解得：，直线HI的解析式为，当y=0时，则有，解得：，当x=1时，则有，点，点G走过的最短路程为；（4）存在以点Q

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