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齐次线性方程组基础解系-齐次性方程基础解系

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  • 卖家[上传人]:壹****1
  • 文档编号:476919852
  • 上传时间:2023-12-11
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    • 1、齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成AX=O的形式,其主要结论有:(1) 齐次线性方程组 AX=0 一定有解,解惟一的含义是只有零解,有非零解的含义是 解不惟一(当然有无穷多解)。有非零解的充要条件是 R(A)n ;(2) 齐次线性方程组 AX=0解的线性组合还是它的解,因而解集合构成向量空间,向 量空间的极大线性无关组,叫基础解系;(3) 齐次线性方程组 AX=0,当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数 n时,存在基础 解系,并且基础解系中含有n-r(A)个解向量;(4) 对于齐次线性方程组 AX=0 ,如果r(A)n,则任意n-r(A)个线性无关的解都是 基础解系。定理1:设A是m n的矩阵,B是n s的矩阵,并且 AB=0,那么r(A)+r(B) - n分析:这是一个非常重要的结论,多年考试题与它有关。同学们还要掌握本定理的证明方法。证:设B的列向量为B-B2,Bs,则B -(B-Bz,Bs),AB=0,即A(B1 , B2, Bs) = 0 所以 ABj - 0, j - 1,2/ ,S所以,Bi, B2,,Bs都是齐次线性方程组 AB=0的解r(B)=秩(

      2、Bi,B2, ,Bs)辽 n - r(A)所以 r(A)+r(B) n评论:AB=0,对B依列分块,时处理此类问题的惯用方法。AX =0的解,只要系数矩阵-0 1都是线性方程组L1解:由答案之未知量的个数是3。V 0 0上2 =11都是线性方程组AX = 0的解,并且_01 -112 0-11-1 0 2 |(A)-2 1 1 (B)(C)(D)4- 2- 20 1 1 一o 1 -1一i0 1 1 _1 , 2线性无关,所以 3-r(A)_2,从而,r(A)叮.只有(A)是正确的。例2:设n阶方阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组 AX=0的通解 为T1解:记 =:,由于n阶方阵A的各行元素之和均为零,所以M = 0,匕H 0且A的秩为n-1,所以就是七次线性方程组 AX=0的基础解系,V所以,线性方程组1AX=0的通解为k :_123_例3:已知Q= 24 t ,P为3阶非零方阵,且满足PQ=0,则3 6 9一(A)t=6时P的秩必为1(B) t=6时P的秩必为2(C)t -6时P的秩必为1 (D)t-6时P的秩必为212 3解:记Q =(Q1,Q2,Q3)=2 4 t,因为PQ=0,所以Q1,Q2,Q3都是齐次线性方程组,3 6 9 一PX -0的解,当t=6时,Q1,Q3线性无关,所以3-r(P) 2,即r(P)P为非零方阵,所以r(P) _1因而:t = 6时P的秩必为1,选(C)另解:因为 PQ=0,所以 r(P) r(Qi3,当 t=6 时,r(Q) = 2, r(P)空 1P为非零方阵,所以r(P)_1因而:t = 6时P的秩必为1,选(C)例4:设A是n (一 2 )阶方阵,A是的伴随矩阵,那么:0当 r(A) n1r(A*)=打当 r(A) =n 1n当 r( A) = n证明:当r(A) : n -1时,由伴随矩阵的定义知,伴随矩阵是零矩阵,r(A*) =0 ;当 r(A) = n 时,A 时可逆矩阵,AhO,而 AA*=AE, AA;An, |A* 式 0r(A*)二 n当r(A)二n-1时,A存在不为0的n-1阶子式,所以r(A*) _ 1此时,A=0,AA*=0,所以 r(A) r(A*): n,r(A*)叮从而 r(A*) =1

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