齐次线性方程组基础解系-齐次性方程基础解系

齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成AX=O的形式，其主要结论有：(1) 齐次线性方程组 AX=0 一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是 解不惟一(当然有无穷多解)。有非零解的充要条件是 R(A)<n ;(2) 齐次线性方程组 AX=0解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向 量空间的极大线性无关组，叫基础解系；(3) 齐次线性方程组 AX=0，当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数 n时，存在基础 解系，并且基础解系中含有n-r(A)个解向量；(4) 对于齐次线性方程组 AX=0 ,如果r(A)<n，则任意n-r(A)个线性无关的解都是 基础解系。定理1：设A是m n的矩阵，B是n s的矩阵，并且 AB=0，那么r(A)+r(B) - n分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关。同学们还要掌握本定理的证明方法。证：设B的列向量为B-B2,Bs，则B -(B-Bz,Bs)，AB=0，即A(B1 , B2, Bs) = 0 所以 ABj - 0, j - 1,2/ ,S所以，Bi, B2,，Bs都是齐次线性方程组 AB=0的解r(B)=秩(Bi,B2, ,Bs)辽 n - r(A)所以 r(A)+r(B) < n评论：AB=0，对B依列分块，时处理此类问题的惯用方法。AX =0的解，只要系数矩阵-0 '1都是线性方程组L1解：由答案之未知量的个数是3。V' 0 '0上2 =1<_1>1都是线性方程组AX = 0的解，并且_01 -112 0-11-1 0 2 |(A)-2 1 1 (B)(C)(D)4- 2- 20 1 1 一o 1 -1一i0 1 1 _1 , 2线性无关，所以 3-r(A)_2,从而，r(A)叮.只有(A)是正确的。例2：设n阶方阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1,则线性方程组 AX=0的通解 为T1解：记© =:，由于n阶方阵A的各行元素之和均为零,所以M = 0，匕H 0且A的秩为n-1，所以就是七次线性方程组 AX=0的基础解系，V所以，线性方程组1AX=0的通解为k :_123_例3：已知Q= 24 t ,P为3阶非零方阵，且满足PQ=0,则3 6 9一(A)t=6时P的秩必为1(B) t=6时P的秩必为2(C)t -6时P的秩必为1 (D)t-6时P的秩必为212 3解：记Q =(Q1,Q2,Q3)=2 4 t，因为PQ=0,所以Q1,Q2,Q3都是齐次线性方程组,'3 6 9 一PX -0的解，当t=6时，Q1,Q3线性无关，所以3-r(P) 2,即r(P)P为非零方阵，所以r(P) _1因而：t = 6时P的秩必为1，选(C)另解：因为 PQ=0,所以 r(P) r(Qi3，当 t=6 时，r(Q) = 2, r(P)空 1P为非零方阵，所以r(P)_1因而：t = 6时P的秩必为1，选(C)例4：设A是n (一 2 )阶方阵，A是的伴随矩阵，那么：0当 r(A) £ n1r(A*)=打当 r(A) =n 1n当 r( A) = n证明：当r(A) : n -1时，由伴随矩阵的定义知，伴随矩阵是零矩阵，r(A*) =0 ；当 r(A) = n 时，A 时可逆矩阵，AhO，而 AA*=AE， AA;An, |A* 式 0r(A*)二 n当r(A)二n-1时，A存在不为0的n-1阶子式，所以r(A*) _ 1此时，A=0，AA*=0，所以 r(A) r(A*)： n,r(A*)叮从而 r(A*) =1