考点16 空间几何的体积与表面积（解析版）-2024年新高考艺体生复习

1、考点16 空间几何的体积与表面积一圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l二空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3三求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决三棱锥的体积四求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积求不规则几何体的表面积时通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再

2、通过求和或作差，求出所给几何体的表面积考点一 空间几何的体积【例1-1】（2023全国统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 【答案】【解析】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：. 【例1-2】（2023河南校联考模拟预测）若圆锥的母线长为6，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（）ABCD【答案】D【解析】由题可知圆锥的侧面展开图扇形的半径，设底面圆的半径为，则，解得，所以圆锥的高，所以该圆锥的体积.故选：D.【例1-3】（2023全国模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为（）ABCD【答案】D【解析】由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为4和6的等边三角形，如图所示，为两底面的中心，则为的中点，过作下底面垂线，垂足为，棱台的高，该正三棱台的上底面的面积为，下底面的面积为，所以正三棱台的体积故选：D【变式】1（2023广东东莞市）

3、圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2的扇形，则圆锥的体积为 .【答案】【解析】因为圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2的扇形，所以圆锥的母线长为，底面周长即扇形的弧长为，所以底面圆的半径，可得底面圆的面积为，又圆锥的高，所以圆锥的体积为，故答案为：.2（2023全国统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，若的面积等于，则该圆锥的体积为（）ABCD【答案】B【解析】在中，而，取中点，连接，有，如图，由的面积为，得，解得，于是，所以圆锥的体积.故选：B3（2023全国统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，则该棱锥的体积为（）A1BC2D3【答案】A【解析】取中点，连接，如图，是边长为2的等边三角形，又平面，平面，又，故，即，所以，故选：A4（2023全国统考高考真题）在正四棱台中，则该棱台的体积为 【答案】/【解析】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为：.考点二 空间几何的表面积【例2-1】（2023西藏拉萨统考一模）若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积

4、为（）ABCD【答案】B【解析】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，所以圆锥的母线长，底面圆半径，所以该圆锥的侧面积为.故选：B【例2-2】（2023山东烟台统考三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积为（）ABCD【答案】C【解析】如图作出圆锥的轴截面，依题意，所以，易知，则，所以，即圆锥的内接圆柱的底面半径，高，所以圆柱的侧面积.故选：C【变式】1（2023河南新乡统考一模）已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为 【答案】【解析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥底面圆面积为，周长为，高为，可得，解得，所以该圆锥的表面积为故答案为：.2（2023河北唐山模拟预测）在圆锥中，为底面圆心，为圆锥的母线，且，若棱锥为正三棱锥，则该圆锥的侧面积为 【答案】【解析】因为棱锥为正三棱锥，所以，因为，由勾股定理得，即圆锥的底面圆半径，母线长为，则该圆锥的侧面积为.故答案为：3（2023浙江宁波统考一模）已知圆台的上下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为 .【答案】【

5、解析】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为；设圆台的高为，由体积可得，解得，所以可得圆台母线长为，根据侧面展开图可得圆台侧面积为.故答案为：考点三 外接球体积与表面积【例3-1】（2023浙江绍兴）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图）, 由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故,所以,所以为外接球的半径，故外接球表面积为，故选：D【例3-2】（2023全国模拟预测）已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形若该圆锥的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则球O的体积为（）ABCD【答案】D【解析】设该圆锥的底面半径为r，高为h由扇形圆心角为，半径为，得圆锥底面圆周长为，解得因为扇形半径为，所以，所以易知球心O在圆锥的高所在的直线上设球O的半径为R，则，即，解得，所以球O的体积为故选：D【变式】1（2023贵州六盘水统考模拟预测）如图，在四面体中，则四面体外接球的表面积为（）ABCD【答案】B【解析】由题设，若是中点，又，故，所以是四面体外接球的球心，且半径为，所以外接球的表面

6、积为.故选：B2（2023四川泸州四川省叙永第一中学校校考一模）如图四面体中，是边长为的正三角形，棱，则四面体的外接球的表面积是（）ABCD【答案】D【解析】取BD的中点H，连接，因为都是边长为的正三角形，则，过外接球球心O分别作平面ABD和平面BCD的垂线，垂足为，则分别为的外心，分别在线段上，且，中，由余弦定理，故中，所以，中，故外接球半径，外接球的表面积是.故选：D.3（2023广西模拟预测）已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为.则正四棱台的体积为 ，外接球的半径为 .【答案】 【解析】根据题意易知该棱台的上下底面积分别为：，所以正四棱台的体积为；连接，交于点，连接，交于点，如图所示：则外接球的球心在直线上，设，外接球半径为R，则，因为，上下底面边长分别为4，6，则，所以.故答案为：；.4（2023全国模拟预测）已知圆柱内接于球，当圆柱的侧面积与球的表面积之比最大时，圆柱与球的体积之比为 .【答案】【解析】设圆柱的底面半径为，球的半径为，则圆柱的高为，所以圆柱的侧面积与球的表面积之比，当且仅当时取等号，故取最大值时，圆柱与球的体积之比.故答案为：.考点四 体积与表面积的最

7、值【例4-1】（2022全国统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）ABCD【答案】C【解析】方法一：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又设四棱锥的高为，则，当且仅当即时等号成立.故选：C方法二：统一变量基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C方法三：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，令，设，则，单调递增， ，单调递减，所以当时，最大，此时故选：C.【例4-2】（2023青海校联考模拟预测）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（）AB

8、CD【答案】C【解析】由题意作图如下：由题设可知该圆锥的高设在该圆锥中内接一个高为的圆柱，该圆柱的底面半径为，由，则，即，所以，故该圆柱的侧面积，当时，侧面积取得最大值故选：C.【变式】1（2022全国统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】球的体积为，所以球的半径,方法一：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，当时，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.方法二：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是2（2023山西临汾校考模拟预测）已知圆锥的母线长为4，当圆锥的体积最大时，其表面积为（）ABCD【答案】C【解析】设圆锥的底面圆的半径为，高为，则，则圆锥的体积为，令，可得，令，解得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，当时，取得最大值，即圆锥的体积取得最大值，此时，圆锥的表面积为.故选：C.3（2023河南开封统考一模）已知点，均

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