考点17 空间向量在空间几何中的应用（解析版）-2024年新高考艺体生复习

1、考点17 空间向量在空间几何中的应用一空间角的概念及范围空间角解题思路夹角范围线线角设两异面直线 l1，l2 所成的角为，其方向向量分别为则线面角l为平面的斜线，为l的方向向量，为平面的法向量，为l与所成的角，则二面角平面的法向量为，平面的法向量为，设二面角大小为，则二空间角的解题思路1.异面直线所成的角(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.2.直线与平面所成角向量法（1）斜线的方向向量（2）平面的法向量（3）斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.3.二面角向量法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.三空间距离1.点到线的距离概念：过一

2、点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；设AP，直线l的一个单位方向向量为，则向量AP在直线l上的投影向量AQ，在RtAPQ中，由勾股定理，得PQ |AP|2-|AQ|22.两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.3.点到平面的距离：已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点.过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此4.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；5.两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.考点一 异面直线的向量法【例1】（2023山东淄博）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（）ABCD【答案】A【解析】由题设，构造如下图示的空间直角坐标

3、系，则，所以，则.所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为.故选：A【变式】1（2023江苏）如图，四棱锥中，底面是矩形，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）ABCD【答案】B【解析】因为，两两垂直，以A为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系.又因为，所以，因为是棱的中点，所以，所以，可得，所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：B.2（2023天津）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】D【解析】以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，所以，则，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.3（2023广东佛山）在三棱锥中，已知平面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【答案】C【解析】以为原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设异面直线与所成角的大小为，则.故选：C.考点二 线面角的向量法【例2】（2023云南昆明）如图，在三棱锥中，平面，点，分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为.(1)求的长；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2).【

4、解析】（1）因为平面，平面，所以；又，所以，两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图3所示的空间直角坐标系，因为点，分别是和的中点，所以，设，则，可得，因为直线与直线所成的角为，所以，即，解得，所以的长为.（2）由（1）知，设平面的法向量为，则，解得，令，得，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【变式】1（2023广东）如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且(1)求证：平面；(2)若，求与平面所成角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）过作交于，过作，交于，连接，是的中点，是的中点，且，是的中点，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面；（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，设与平面所成角为，则，则与平面所成角的余弦值为：2（2024海南省直辖县级单位高三校考阶段练习）如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成.(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）分别取的中点，连接，由题意可知多面体的棱

5、长全相等，且四边形为正方形，所以，因为平面，所以平面，同理平面.又平面平面，所以四点共面.又因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，所以.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以.设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为.3（2023云南临沧）如图，在三棱锥中，为正三角形，平面平面.(1)求证：；(2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）如图，设为的中点，因为为正三角形，所以.平面平面，平面平面，平面，底面，而底面，又，平面，平面，而平面，；（2）设的中点为，.由（1）知两两垂直，以为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，取，则，.设平面的法向量为，则，取，则.直线与平面所成角的正弦值为.考法三 二面角的向量法【例3】（2023山西吕梁）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，平面，过的平面交平面于(1)证明：平面；(2)若平面平面，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：因为平面，过的平面

6、交平面于，即平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，四边形为菱形，则，平面平面，故平面，又平面，所以平面平面.又平面，所以平面.（2）由（1）知四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，因为，所以为等边三角形.连接交于O，连接，则，因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，因为平面，所以.因为四棱锥的体积为，即，又，所以，所以，以O为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量，则，即令，则，所以，设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以，设平面与平面的夹角为，夹角范围为大于等于小于等于，所以，故平面与平面的夹角的余弦值为.【变式】1（2023北京统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为平面平面，所以，同理，所以为直角三角形，又因为，所以，则为直角三角形，故，又因为，所以平面.（2）由（1）平面，又平面，则，以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，所以，设平面的法向量

7、为，则，即令，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，所以，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.2（2023全国统考高考真题）如图，三棱锥中，E为BC的中点(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）连接，因为E为BC中点，所以，因为，所以与均为等边三角形，从而，由，平面，所以，平面，而平面，所以（2）不妨设，又，平面平面以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，取，所以；，取，所以，所以，从而所以二面角的正弦值为3（2022全国统考高考真题）如图，是三棱锥的高，E是的中点(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，所以所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系，因为，所以，又，所以，则，所以，所以，所以，则，设平面的法

8、向量为，则，令，则，所以；设平面的法向量为，则，令，则，所以；所以.设二面角的大小为，则，所以，即二面角的正弦值为.考法四 点到线距离的向量法【例4】（2023江苏徐州）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（）AB1CD【答案】D【解析】根据题意，直线的方程为，即，则直线的方向向量为，又因为过点，则，故在上的射影为：，故点到直线的距离为：.故选：D.【变式】1（2023广东佛山统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，E为的中点，则点E到直线的距离为（）ABCD【答案】A【解析】在平行六面体中，不妨设，,， ，所以，所以E到直线的距离为，故选：A2（2023浙江温州统考三模）四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（）ABCD【答案】A【解析】四面体满足，即两两垂直，以点O为原点，以射线的正方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，因为，则，于是，所以点到直线的距离.故选：A3（2022北京石景山校考模拟预测）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（）A1BCD【答案】C【解析】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P为

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