2023年坐标系与参数方程联系题真题含答案
11页1、1、在极坐标系下,已知圆O:cos sin 和直线l:sin(0,02)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当(0,)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标解:(1)圆O:cos sin ,即2cos sin ,故圆O的直角坐标方程为x2y2xy0,直线l:sin,即sin cos 1,则直线l的直角坐标方程为xy10.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),将(0,1)转化为极坐标为即为所求2、已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2,22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解:(1)由2知24,所以圆O1的直角坐标方程为x2y24.因为22cos2,所以222,所以圆O2的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1,即sin.3、(2017全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)
2、M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值解:(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10)由题设知|OP|,|OM|1.由|OM|OP|16,得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题设知|OA|2,B4cos ,于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时,S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.4、(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,直线C1:x2,圆C2:(x1)2(y2)21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积解:(1)因为xcos ,ysin ,所以C1的极坐标方程为cos 2,C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40,得2340,解得12,2.故12,即|MN|.
3、由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.5(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0)在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan 02,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解:(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆将xcos ,ysin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos28sin cos 1a20,由已知tan 2,可得16cos28sin cos 0,从而1a20,解得a1(舍去)或a1.当a1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上所以a1.6(2018洛阳模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2(y2)24.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是2sin5,射 线OM:与圆C的交点
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