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圆中常见的辅助线的作法分类大全

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卖家[上传人]：hs****ma

文档编号：473912418

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常见问题

1、遇到弦时(解决有关弦的问题时)常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用:1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。、可得等腰三角形; 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角.例：如图,B是O的直径，OAB交O于点，弦P与AB相交于点M，求证:PMPN=2PO2.分析:要证明PPN2PO2，即证明PMPC =2，过O点作P于,根据垂经定理 NC=P,只需证明PMP=PO2,要证明PC=P2只需证明RtOCPMO。证明: 过圆心O作OCPN于C，PC NPA， OCPN，MOP=OCP=9。又OPC=MO，RtPRtMO。即PO2 PMPC。 PO=PMP，PMPN2PO2【例1】如图,已知AC内接于O,A45，B=2，求O的面积。【例2】如图，的直径为10,弦B8,P是弦AB上一个动点，那么P的长的取值范围是_【例3】如图,弦AB的长等于O的半径，点C在弧AMB上,则C的度数是_.

2、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。例如图，在ABC中，C90,以BC上一点为圆心，以为半径的圆交AB于点,交BC于点N（1）求证:BBMBCB；（2）如果CM是的切线,N为OC的中点，当AC=3时,求AB的值分析:要证BBMBCBN，需证ABMB，而0，所以需要MB中有个直角,而BN是圆O的直径，所以连结M可得BN90。MNOCA（1）证明：连结N，则BMN=9=ACACBNMBBM=CN（2）解：连结OM,则OMC=9N为OC中点MNONOM，MON=6M=OB,B=ON=30ACB=90,AB=2A=23=6【例4】如图，AB是的直径,AB=，弦C=2， = 3. 遇到90的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用:利用圆周角的性质，可得到直径。【例5】如图,A、C是的的两条弦,A=，A=6,AC=8,的半径是 . 遇到有切线时()常常添加过切点的半径(连结圆心和切点）(2）常常添加连结圆上一点和切点作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理.2、利用切线的性质定理可得AAB,得到直角或直角三角形。【例】如图

3、，A是O的直径,弦A与AB成30角，CD与切于C，交B的延长线于,求证:AC=CD6. 遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种:公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是:“经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,就是说,要判定一条直线是否是切线,应同时满足这样的两条:(1)直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径,所以，在证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线，才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律1无点作垂线需证明的切线,条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径例7已知：如图，A是O的直径，ADB于, BCAB于B，若DO=90求证:C是O的切线.分析:DC与O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OEDC,只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可而OE、O在DEO、DAO中,需证明DEODAO证明：作ODC于点,取D的中点F,连结F又DOC= 9. =FD 1=。DA，BAB， CD，OF为梯形的中位线.OFA =3 12O是AE的角平分线。ODA，OEDC,OA=E圆的

4、半径. D是O的切线.2.有点连圆心。当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例8。已知：如图,AB为O的直径,BC为O的切线，切点为，OC平行于弦AD,求证：是O的切线。分析：D在上，有点连圆心,连结DO，证明DODC即可. 证明：连结DO,OCA DAO=O，D=DC而DAADOOB，又OC=OC，DBO OCBO OC=OBC， B为O的切线,切点为BOBC=9,ODC=90，又D在上，D是O的切线。【例7】如图所示，已知A是的直径，ACL于C,BD于D,且+D=AB。求证：直线L与O相切。【例8】如图，BO中，OA OB,以O为圆心的圆经过AB中点，且分别交O、OB于点、F 求证：AB是切线；7 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用:据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系;全等、相似三角形。【例9】如图,P是O外一点,PA、PB分别和O切于、，C是弧上任意一点，过C作O的切线分别交PA、PB于D、E,若PE的周长为12，则长为_8 遇到三角形的内切圆时连结内心到

5、各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段.作用：利用内心的性质,可得：内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图，AB中，A=45，I是内心，则BIC= 【例11】如图，RtAC中，AC=8，=6，C=0，I分别切AC,BC，于,F，求RtABC的内心I与外心O之间的距离。遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。课后冲浪1.已知:是O外一点,PB，分别交O于A、B和C、D，且AB=CD求证：PO平分P.2.如图，ABC中,C=90，圆O分别与A、BC相切于M、N,点O在AB上，如果15，BO0,求圆的半径。3.已知:CD的对角线AC、交于O点,BC切于E点。求证:A也和O相切.如图，学校A附近有一公路N，一拖拉机从点出发向P方向行驶,已知NA=3,AP=60米,假使拖拉机行使时,A周围10米以内受到噪音影响，问:当拖拉机向PN方向行驶时,学校是否会受到噪音影响？请说明理由。如果拖拉机速度为8千米小时，则受噪音影响的时间是多少秒？5如图，A是半径为的圆O外的一点，O=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BCOA，连结AC，求阴影部分的面积.。我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角,圆心作半径；已知有两圆，常画连心线;。遇到相交圆,连接公共弦;遇到相切圆,作条公切线；“有点连圆心,无点作垂线.”切线证明法，规律记心间。文中如有不足，请您指教！ /

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