2024年新高考艺体生冲刺复习考点21 随机变量与分布列（解析版）

1、考点21 随机变量及分布列一随机变量的有关概念1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，表示2.离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量二离散型随机变量分布列的概念及性质1.概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列有时也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列2.分布列的性质pi0，i1,2,3，n； pi1.三 均值与方差1.均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2.方差：称D(X)xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差3.均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b. (2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)四两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1pp其中0p1，则称离散型随机变量X服从两点分

2、布其中pP(X1)称为成功概率五超几何分布1.概念：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称随机变量X服从超几何分布X01mP2.特征（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数（2）考察对象分两类（3）已知各类对象的个数（4）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型六二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率七条件概率1.定义和性质条件概率的定义条件概率的性质设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0P(B|A)1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.求条件概率的两种方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(

3、B|A)，这是求条件概率的通法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).八事件的相互独立性1.定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立2.性质：若事件A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立3.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算九独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i1,2，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)十正态分布1.正态曲线的特点：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由

4、确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散2.正态分布的三个常用数据P(X)0.682_7；P(2X2)0.954_5；P(3X3)0.997_3.考点一 离散型随机变量分布列及均值与方差【例1-1】（2024全国高三专题练习）设随机变量X的分布列如下：X1234Pp则p为（）ABCD【答案】B【解析】由分布列的性质可知，得.故选：B【例1-2】（2024江西）（多选）设离散型随机变量的分布列为：01230.40.30.2若离散型随机变量满足，则（）ABCD【答案】ABD【解析】由分布列的性质知，则，故，故A正确；，故C错误；则，故B正确； 所以，故D正确故选：ABD【变式】1（2024辽宁）设，随机变量的分布列为：589则（）ABCD【答案】D【解析】由，得，所以.故选：D2（2023上天津河东高三校考阶段练习）设随机变量X的概率分布列为：X1234Pmn已知，则 .【答案】/0.5【解析】依题意有，解得，则.故答案为：.3（2024山东德州）离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下：12345

5、60.210.200.100.10则（）A0.35B0.45C0.55D0.65【答案】B【解析】由题意得，化简得，又且，所以，所以.故选：B4（2024河南南阳）（多选）已知的分布列为-101则（）ABCD【答案】ABD【解析】对于A，由分布列的性质可得，解得，则，A正确；对于B，B正确；对于C，C错误；对于D，当或时，所以，D正确.故选：ABD.考点二 超几何分布【例2】（2024广东广州高三校考期末）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；【答案】(1)，平均数670，中位数650，众数600(2)分布列见解析，

6、【解析】（1）由题意知，解得，样本平均数为，由于，故中位数650，众数600（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3，所以随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望【变式】1（2024广东潮州高三统考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，内，统计结果如频率分布直方图所示(1)根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组，的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于的人数的分布列和数学期望【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为.【解析】（1）根据频率分布直方图得：（2）由题意可知，和的频率之比为：，故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，随机

7、变量的取值可以为，故的分布列为：0123所以.2（2023上河南南阳高三南阳中学校考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400(1)求a，b，c，d的值；(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，求在各组应该抽取的人数；在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望【答案】(1)，(2)各组应该抽取的人数分别为3，4，5，6；分布列见解析，数学期望为【解析】（1）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为，又因为第五小组的频数为2400，所以样本容量因为第六小组的频率为，所以第六小组的频数是由频率之和为1，得，所以因为频率分布直方图中的满足，所以所以代入中，得，得，解得所以（2）因为前4组的频率之比为，且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，所以在应该抽取的人数分

8、别是由题意，随机变量的所有可能取值是则故随机变量的分布列为0123故随机变量的数学期望为3（2024山西吕梁校考模拟预测）作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品共游客选择，国庆期间甲、乙等名同学准备从以上个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的，(1)分别求“恰有人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率；(2)设表示人中选择博物馆的个数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)“恰有人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率分别为、(2)分布列见解析，期望为【解析】（1）解：所有可能选择的方式有种，设“恰有人选择庆余年馆”为事件，则其余人每人都有种选择，所以，设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件，则乙有种选择，其余人每人都有种选择，则，则“恰有人选择庆余年馆”的概率为，“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率为.（2）解：由题可知：的所有可能的值为、，则，则的分布列为所以，.考点三 二项分布【例3】（2024上内蒙古鄂尔多斯高三统考期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指

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