2024年新高考艺体生冲刺复习考点30 椭圆(解析版)
44页1、考点30 椭圆一椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|二椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形标准方程1(ab0)1(ab0)性质范围axabybbxbaya对称性对称轴:x轴、y轴对称中心:(0,0)顶点A1(a,0),A2(a,0) B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a) B1(b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e,e(0,1)a,b,c的关系c2a2b2三点与椭圆的位置关系已知点P(x0,y0),椭圆1(ab0),则(1)点P(x0,y0)在椭圆内1.四直线与椭圆的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程AxByC0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)0,消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程例:由消去y,得ax2bxc0.当a0时,设一元二次方程ax2bxc0的判别式为,则:0直线与圆锥曲线C相交
2、;0直线与圆锥曲线C相切;0直线与圆锥曲线C相离五弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下几种:|AB|x1x2|=;|AB| |y1y2|(k0)= .六求椭圆离心率的方法直接求出a,c的值,利用离心率公式e直接求解列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2a2c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解七焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形如图所示,设F1PF2.|PF1|PF2|2a.4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .焦点三角形的周长为2(ac)SPF1F2|PF1|PF2|sin b2b2tan c|y0|,当|y0|b,即P为短轴端点时,SPF1F2取最大值,为bc.考点一 椭圆的定义及应用【例1-1】(2024河南开封)已知椭圆的两个焦点分别为,点为椭圆上一点,则 【答案】12【解析】由题意知,所以,又由椭圆的定义,得故答案为:12【
3、例1-2】(2023山东烟台)已知椭圆的左、右焦点分别为、,若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点,则的周长为( )ABCD【答案】D【解析】由题意可得,的周长为,故选:D【例1-3】(2024内蒙古赤峰高三校考开学考试)已知椭圆,为两个焦点,为椭圆上一点,若,则的面积为()ABCD【答案】C【解析】由题意,所以,因为,所以,而,所以,所以的面积为.故选:C.【例1-4】(2023上福建宁德高二统考期末)已知是椭圆上一动点,是圆上一动点,点,则的最大值为()A3B4C5D6【答案】B【解析】如图,由题意,椭圆的焦点为,则圆的圆心是椭圆的左焦点,由椭圆定义得,所以,又,所以.故选:B.【变式】1(2024湖北)已知,是椭圆的两个焦点,点在上,则的最大值为()A1B4C9D6【答案】B【解析】由椭圆定义得,由基本不等式得,当且仅当时,等号成立,故的最大值为4.故选:B2(2023广东广州华南师大附中模拟预测)已知椭圆:,点,在椭圆上且在轴异侧,分别为椭圆的左、右焦点,则四边形的周长为()A8B4C3D【答案】A【解析】由椭圆的定义,故四边形的周长为8.故选:A.3(2022全国模拟预测)
4、设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,若,则的面积为()ABC8D【答案】D【解析】由椭圆中,则,可得,又由椭圆的定义可得,取的中点,因为,则,由勾股定理可得,所以.故选:D.4(2024湖南)已知椭圆的左焦点为,为上的动点,点,则的最大值为()ABC3D【答案】C【解析】由椭圆方程可知:,设右焦点为,则,且,即,如图所示,可得:,当且仅当在线段上时,等号成立,所以的最大值为3.故选:C.考点二 椭圆的标准方程【例2-1】(2024山东高三山东省实验中学校联考开学考试)“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆等价于,解得,所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选:B.【例2-2】(2024广东潮州)分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦距为4,且经过点;(2)求经过点和点的椭圆方程.(3)焦点在轴上,且经过两个点和;(4)经过点.【答案】(1)或(2)(3)(4)【解析】(1)当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为,依题意得,则,故椭圆的标准方程为.当焦点在
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