2024年新高考艺体生冲刺复习考点30 椭圆（解析版）

考点30 椭圆一椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|二椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形标准方程1(ab0)1(ab0)性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(a，0)，A2(a，0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e，e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2三点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)，椭圆1(a>b>0)，则(1)点P(x0，y0)在椭圆内<1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外>1.四直线与椭圆的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程例：由消去y，得ax2bxc0.当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则：>0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；<0直线与圆锥曲线C相离五弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：|AB|x1x2|=；|AB| |y1y2|(k0)= .六求椭圆离心率的方法直接求出a，c的值，利用离心率公式e直接求解列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解七焦点三角形的结论椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形如图所示，设F1PF2.|PF1|PF2|2a.4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .焦点三角形的周长为2(ac)SPF1F2|PF1|PF2|·sin b2·b2tan c|y0|，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc.考点一 椭圆的定义及应用【例1-1】（2024·河南开封）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，则 【答案】12【解析】由题意知，所以，又由椭圆的定义，得故答案为：12【例1-2】（2023·山东烟台）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可得，的周长为，故选：D【例1-3】（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（    ）ABCD【答案】C【解析】由题意，所以，因为，所以，而，所以，所以的面积为.故选：C.【例1-4】（2023上·福建宁德·高二统考期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ）A3B4C5D6【答案】B【解析】如图，由题意，椭圆的焦点为，则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以，又，所以.故选：B.【变式】1（2024·湖北）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）A1B4C9D6【答案】B【解析】由椭圆定义得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故的最大值为4.故选：B2（2023·广东广州·华南师大附中模拟预测）已知椭圆：，点，在椭圆上且在轴异侧，分别为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为（    ）A8B4C3D【答案】A【解析】由椭圆的定义，故四边形的周长为8.故选：A.3（2022·全国·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则的面积为（    ）ABC8D【答案】D【解析】由椭圆中，则，可得，又由椭圆的定义可得，取的中点，因为，则，由勾股定理可得，所以.故选：D.4（2024湖南）已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ）ABC3D【答案】C【解析】由椭圆方程可知：，设右焦点为，则，且，即，如图所示，  可得：，当且仅当在线段上时，等号成立，所以的最大值为3.故选：C.考点二 椭圆的标准方程【例2-1】（2024·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆等价于，解得，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B.【例2-2】（2024广东潮州）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦距为4，且经过点；(2)求经过点和点的椭圆方程.(3)焦点在轴上，且经过两个点和；(4)经过点.【答案】(1)或(2)(3)(4)【解析】（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意得，则，故椭圆的标准方程为.当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意得，则，故椭圆的标准方程为.（2）方法一：当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）.依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为.当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）.依题意有，解得因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为.方法二：设所求椭圆的方程为（，）.依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为.（3）焦点在轴上的椭圆方程设为：.由于椭圆经过两个点和，所以，解得，所以所求的椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的方程为：，由于椭圆经过点，解得，所以所求椭圆的标准方程为.【变式】1（2024·贵州毕节）“方程表示椭圆”是“”的（    ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程表示椭圆，则，解得且，因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件.故选：A2（2024上·河北承德）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ）ABCD【答案】C【解析】因为的最小值为1，所以因为的周长为34，所以，所以因为，所以，所以椭圆C的标准方程为故选：C.3（2024·黑龙江鸡西）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；(3)经过和点(4)一个焦点为(5)与椭圆有相同的焦点，且经过点【答案】(1)1(2)(3)(4)(5)【解析】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，椭圆方程为1；（2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和，则，则椭圆的标准方程为；（3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点，设其方程为，则有，解可得，则所求椭圆的方程为（4）由题知，椭圆焦点在x轴上，又，所以，所以，椭圆方程为.（5）椭圆的焦点为，设所求椭圆方程为，则有，解得，所以所求椭圆方程为.考点三 点与椭圆的位置关系【例3】（2023·河南南阳）点与椭圆的位置关系为（    ）A点在椭圆上B点在椭圆内C点在椭圆外D不确定【答案】B【解析】由于，所以在内，故选：B【变式】1（2023河北）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ）A点不在椭圆上B点不在椭圆上C点在椭圆上D无法判断上述点与椭圆的关系【答案】C【解析】点与点关于原点对称，点与关于轴对称，点与关于轴对称，若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，三点都在椭圆上，故选：C2（2024·吉林四平）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ）ABCD【答案】C【解析】由椭圆方程为，因为，所以点在椭圆内部，A错误；因为，所以点在椭圆内部，B错误；因为，所以点在椭圆外部，C正确；因为，所以点在椭圆内部，D错误.故选：C.3（203·四川广安）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ）ABCD【答案】B【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B.4（2024·湖南岳阳）在平面直角坐标系中，“点在椭圆内”是“”的（    ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当点在椭圆内时，即，因为，则，所以，当成立时，一定成立，反之，成立时，不一定成立，所以，是成立的必要不充分条件，所以，“点在椭圆内”是“”的必要不充分条件.故选：C考点四 直线与椭圆的位置关系【例4-1】（2024广东深圳）已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）联立消去y得，若直线l与椭圆C有两个不重合的公共点，则，解得，即直线l与椭圆C有两个不重合的公共点时，的取值范围为.（2）若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,则，解得，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点时,的值为.（3）若直线l与椭圆C没有公共点,则，解得，即直线l与椭圆C没有公共点时,的取值范围为.【例4-2】（2024·安徽宿州）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】直线，令，解得，所以直线恒过定点，直线与椭圆恒有公共点，即点在椭圆内或椭圆上，即，又，否则是圆而非椭圆，或，即实数的取值范围是.故答案为：【变式】1（2023·辽宁大连）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ）A相交B相切C相离D以上选项都不对【答案】A【解析】由消去y并整理得：，显然，因此方程组有两个不同的解，所以与相交.故选：A2（2024下·上海·高三开学考试）直线与椭圆的公共点个数为 【答案】2【解析】直线恒过，由于，所以是椭圆内部的一点，所以直线与椭圆恒有2个交点故答案为：23（2023上·山西）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数.【答案】答案见解析【解析】由，消去并整理得，此方程的实数解的个数由它的判别式决定，当时，方程有两个不相等的实数根，代入方程可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点，即它们相交.当或时，方程有两