初高中数学教学衔接初探
4页1、初高中数学教学衔接初探 -谈反比例函数、二次函数反比例函数、二次函数(以下将防比例函数、二次函数称为“二者”),是猪高中数学内容中联系密切的内容之一。在高中阶段无章节专门研究“二者”,但“二者”却是高考的热点,“后者”尤为突出。其中2006年浙江卷(文)第20题,2006年全国卷(文)第21题等,都是以把关题出现。这就使我们在教学中对“二者”有关知识的扩展应引起足够的重视,因为这种扩展正是“知识网络的交汇点”。以下从“二者”的联系与区别入手,完成这一部分的初高中教学的衔接。一、“二者”在初高中学习中的联系与区别。1、粗放 精细。初中学习阶段是要求理解“二者”的有关概念,会用描点法画图象,会用待定系数法求解析式,是最基础性的知识,属于粗放型。到了高中,与“二者”有关的问题涉及到高中数学的始终。所以在教学时对“二者”应适当巩固、加深、拓宽,以具体数学问题为依托将有关知识从粗放型向精细型过渡。例1、(1)已知函数的反函数的图象的对称中心是(-1,3),则实数_。(2)函数在区间上是单调递增,则实数的取值范围是_;解:(1) 的对称中心是。(证明略)的对称中心是的图象的对称中心是(-1,3)
2、(2),图象类似于函数的图象,其对称中心为。 而在区间上是增函数 。评析:用“分离常数”和类比的数学思想方法将其转化为反比例函数的问题。例2、(06年浙江,文20)设若,求证:()方程有实根;();()设是方程的两个实根,则。证明:()若=0,则,与已知矛盾,对方程,消去得方程有实根。()由,得 ,消去c得。() 由知。评析:本例用消去法和类比的数学思想方法,把问题化为三个“二次”来解决,将问题一般化,并进一步的深化细化。在三个“二次”中,有许多这样的问题,建议以探究性方式展开学习。 2、整体 局部;静态 动态 初中学习的“二者”,定义域是整体的,系数一般不含参数,是静态的;而高中对“二者”的研究是局部的,具有动态特征。若学生仍以原来的思维方式审视问题,必将难以入手。因此,必须做好这两大区别的衔接,重点放在局部、动态这来年感方面。例3、函数的值域是,则此函数的定义域为_;解:,对称中心是,图象类似于的图象。 由图象知,定义域为。例4、求函数在给定区间()上的最大值和最小值。解:抛物线对称轴,开口向上, (1)、当对称轴在区间外时,比较区间两个端点的函数,大的为最大值,小的为最小值。 (
3、2)、当对称轴在区间内时, ,然后比较,大的为最大值。例5、求函数在区间的最小值,并作出函数的图象。 解: (1)、当2t+1,即t1时,在上为减函数。,从而图象略。 通过上述三例,使学生对“二者”的图象和性质有更深刻地理解,并在此基础上掌握基础类型,基本方法,利用数形结合的数学思想,运动变化的观点,研究图象的局部和动态这两方面。特别说明的是,对于二次函数在闭区间上的最大值问题,多为轴动区间定,或轴定区间动两种类型。不论何种类型,都要讨论对称轴与区间的相对位置,即轴在区间左侧、右侧、内部。必须让学生搞懂,为什么要这么分类,最好能让学生自己说出来。在区间上求二次函数最值,主要是利用函数的单调性来解决,而二次函数的单调性是以对称轴为界来划分的。只有把为什么这样分类搞清,学生才会真正理解掌握轴动区间运动的情况。 二、搞好“二者”的衔接教学1、落实“双基”,体会数学思想方法对“二者”的图象、表达式、对称中心、平移、顶点、对称轴、单调区间、二次不等式、二次方程等知识,学生应形成一个知识网络结构,运用时能快速准确呈现。涉及到的数学思想方法是函数与方程、配方法、待定系数法、消去法、换元法、分类讨论、数形结合、等价转化、类比等重要数学思想方法。因此,必须进行适量的练习,做到题前分析,书写规范,题后小结。2、把握渗透“二者”的契机随着高一数学知识的增加,在教学中笔者采用集中分散,穿插结合,循序渐进,逐步深入的方法,适度地扩展“二者”的相关知识,使之逐步达到高考要求。如在研究一元二次不等式的解、求函数的值域、求函数的解析式、研究函数的单调性,解决应用题时渗透“二者”。利用类比的方法引出新知识,使新知识顺利地纳入学生原有的认知结构之中,完成同化过程。并且认真剖析新旧知识间的联系与区别,揭示新知识的本质特点,善于将新问题化为熟知的旧问题,发展学生原有的认知结构,强化和巩固新知识,逐步地实现“二者”平稳、顺利地过渡。
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